Trigonométrie Exemples

$\frac{- 56 + 15 \sqrt{15}}{105 + 8 \sqrt{15}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{- 56 + 15 \sqrt{15}}{105 + 8 \sqrt{15}}$ par $\frac{105 - 8 \sqrt{15}}{105 - 8 \sqrt{15}}$ .

$\frac{- 56 + 15 \sqrt{15}}{105 + 8 \sqrt{15}} \cdot \frac{105 - 8 \sqrt{15}}{105 - 8 \sqrt{15}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{- 56 + 15 \sqrt{15}}{105 + 8 \sqrt{15}}$ par $\frac{105 - 8 \sqrt{15}}{105 - 8 \sqrt{15}}$ .

$\frac{(- 56 + 15 \sqrt{15}) (105 - 8 \sqrt{15})}{(105 + 8 \sqrt{15}) (105 - 8 \sqrt{15})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(- 56 + 15 \sqrt{15}) (105 - 8 \sqrt{15})}{11025 - 840 \sqrt{15} + 840 \sqrt{15} - 64 {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(- 56 + 15 \sqrt{15}) (105 - 8 \sqrt{15})}{10065}$

Étape 3

Développez $(- 56 + 15 \sqrt{15}) (105 - 8 \sqrt{15})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 56 (105 - 8 \sqrt{15}) + 15 \sqrt{15} (105 - 8 \sqrt{15})}{10065}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 56 \cdot 105 - 56 (- 8 \sqrt{15}) + 15 \sqrt{15} (105 - 8 \sqrt{15})}{10065}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 56 \cdot 105 - 56 (- 8 \sqrt{15}) + 15 \sqrt{15} \cdot 105 + 15 \sqrt{15} (- 8 \sqrt{15})}{10065}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 56$ par $105$ .

$\frac{- 5880 - 56 (- 8 \sqrt{15}) + 15 \sqrt{15} \cdot 105 + 15 \sqrt{15} (- 8 \sqrt{15})}{10065}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 56$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 15 \sqrt{15} \cdot 105 + 15 \sqrt{15} (- 8 \sqrt{15})}{10065}$

Étape 4.1.3

Multipliez $105$ par $15$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} + 15 \sqrt{15} (- 8 \sqrt{15})}{10065}$

Étape 4.1.4

Multipliez $15 \sqrt{15} (- 8 \sqrt{15})$ .

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $- 8$ par $15$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 \sqrt{15} \sqrt{15}}{10065}$

Étape 4.1.4.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}{10065}$

Étape 4.1.4.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}{10065}$

Étape 4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}{10065}$

Étape 4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 {\sqrt{15}}^{2}}{10065}$

Étape 4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10065}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10065}$

Étape 4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{10065}$

Étape 4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{10065}$

Étape 4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 \cdot 15^{1}}{10065}$

Étape 4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 120 \cdot 15}{10065}$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 120$ par $15$ .

$\frac{- 5880 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15} - 1800}{10065}$

Étape 4.2

Soustrayez $1800$ de $- 5880$ .

$\frac{- 7680 + 448 \sqrt{15} + 1575 \sqrt{15}}{10065}$

Étape 4.3

Additionnez $448 \sqrt{15}$ et $1575 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 7680 + 2023 \sqrt{15}}{10065}$

Étape 5

Réécrivez $- 7680$ comme $- 1 (7680)$ .

$\frac{- 1 (7680) + 2023 \sqrt{15}}{10065}$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $2023 \sqrt{15}$ .

$\frac{- 1 (7680) - (- 2023 \sqrt{15})}{10065}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7680) - (- 2023 \sqrt{15})$ .

$\frac{- 1 (7680 - 2023 \sqrt{15})}{10065}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7680 - 2023 \sqrt{15}}{10065}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{7680 - 2023 \sqrt{15}}{10065}$

Forme décimale :

$0.01540440 \dots$