Trigonométrie Exemples

$\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} - 1}$

Étape 1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} - 1}$ par $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} + 1}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} - 1} \cdot \frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} + 1}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} - 1}$ par $\frac{4 \sqrt{2} + 1}{4 \sqrt{2} + 1}$ .

$\frac{(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)}{(4 \sqrt{2} - 1) (4 \sqrt{2} + 1)}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)}{16 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $4 \sqrt{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(4 \sqrt{2} + 1)}^{1} (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Étape 3.2

Élevez $4 \sqrt{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(4 \sqrt{2} + 1)}^{1} {(4 \sqrt{2} + 1)}^{1}}{31}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(4 \sqrt{2} + 1)}^{1 + 1}}{31}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(4 \sqrt{2} + 1)}^{2}}{31}$

Étape 4

Simplifiez ${(4 \sqrt{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${(4 \sqrt{2} + 1)}^{2}$ comme $(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)$ .

$\frac{(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Étape 4.2

Développez $(4 \sqrt{2} + 1) (4 \sqrt{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2} + 1) + 1 (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2} + 1)}{31}$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $4 \sqrt{2} (4 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 \sqrt{2} \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{16 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{16 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{16 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{16 \cdot 2^{1} + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{16 \cdot 2 + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{32 + 4 \sqrt{2} \cdot 1 + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{32 + 4 \sqrt{2} + 1 (4 \sqrt{2}) + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $4 \sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{32 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 1 \cdot 1}{31}$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{32 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 1}{31}$

Étape 4.3.2

Additionnez $32$ et $1$ .

$\frac{33 + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}{31}$

Étape 4.3.3

Additionnez $4 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{33 + 8 \sqrt{2}}{31}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{33 + 8 \sqrt{2}}{31}$

Forme décimale :

$1.42947446 \dots$