Trigonométrie Exemples

$\frac{42 - 20 \sqrt{21} (21 \sqrt{21} - 40)}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{42 - 20 \sqrt{21} (21 \sqrt{21}) - 20 \sqrt{21} \cdot - 40}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.2

Multipliez $- 20 \sqrt{21} (21 \sqrt{21})$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $21$ par $- 20$ .

$\frac{42 - 420 \sqrt{21} \sqrt{21} - 20 \sqrt{21} \cdot - 40}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.2.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\frac{42 - 420 ({\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}) - 20 \sqrt{21} \cdot - 40}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.2.3

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\frac{42 - 420 ({\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}) - 20 \sqrt{21} \cdot - 40}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{42 - 420 {\sqrt{21}}^{1 + 1} - 20 \sqrt{21} \cdot - 40}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{42 - 420 {\sqrt{21}}^{2} - 20 \sqrt{21} \cdot - 40}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.3

Multipliez $- 40$ par $- 20$ .

$\frac{42 - 420 {\sqrt{21}}^{2} + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{42 - 420 {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{42 - 420 \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{42 - 420 \cdot 21^{\frac{2}{2}} + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{42 - 420 \cdot 21^{\frac{2}{2}} + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{42 - 420 \cdot 21^{1} + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.4.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{42 - 420 \cdot 21 + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.4.2

Multipliez $- 420$ par $21$ .

$\frac{42 - 8820 + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 1.5

Soustrayez $8820$ de $42$ .

$\frac{- 8778 + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21} - 40)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8778 + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 40 (21 \sqrt{21}) + 40 \cdot - 40}$

Étape 2.2

Multipliez $21$ par $40$ .

$\frac{- 8778 + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 840 \sqrt{21} + 40 \cdot - 40}$

Étape 2.3

Multipliez $40$ par $- 40$ .

$\frac{- 8778 + 800 \sqrt{21}}{21 \sqrt{21} + 840 \sqrt{21} - 1600}$

Étape 2.4

Additionnez $21 \sqrt{21}$ et $840 \sqrt{21}$ .

$\frac{- 8778 + 800 \sqrt{21}}{861 \sqrt{21} - 1600}$

Étape 3

Multipliez $\frac{- 8778 + 800 \sqrt{21}}{861 \sqrt{21} - 1600}$ par $\frac{861 \sqrt{21} + 1600}{861 \sqrt{21} + 1600}$ .

$\frac{- 8778 + 800 \sqrt{21}}{861 \sqrt{21} - 1600} \cdot \frac{861 \sqrt{21} + 1600}{861 \sqrt{21} + 1600}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{- 8778 + 800 \sqrt{21}}{861 \sqrt{21} - 1600}$ par $\frac{861 \sqrt{21} + 1600}{861 \sqrt{21} + 1600}$ .

$\frac{(- 8778 + 800 \sqrt{21}) (861 \sqrt{21} + 1600)}{(861 \sqrt{21} - 1600) (861 \sqrt{21} + 1600)}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(- 8778 + 800 \sqrt{21}) (861 \sqrt{21} + 1600)}{741321 {\sqrt{21}}^{2} + 1377600 \sqrt{21} - 1377600 \sqrt{21} - 2560000}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{(- 8778 + 800 \sqrt{21}) (861 \sqrt{21} + 1600)}{13007741}$

Étape 5

Développez $(- 8778 + 800 \sqrt{21}) (861 \sqrt{21} + 1600)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8778 (861 \sqrt{21} + 1600) + 800 \sqrt{21} (861 \sqrt{21} + 1600)}{13007741}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8778 (861 \sqrt{21}) - 8778 \cdot 1600 + 800 \sqrt{21} (861 \sqrt{21} + 1600)}{13007741}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8778 (861 \sqrt{21}) - 8778 \cdot 1600 + 800 \sqrt{21} (861 \sqrt{21}) + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $861$ par $- 8778$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 8778 \cdot 1600 + 800 \sqrt{21} (861 \sqrt{21}) + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 8778$ par $1600$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 800 \sqrt{21} (861 \sqrt{21}) + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.3

Multipliez $800 \sqrt{21} (861 \sqrt{21})$ .

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $861$ par $800$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 \sqrt{21} \sqrt{21} + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.3.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 ({\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}) + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.3.3

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 ({\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}) + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 {\sqrt{21}}^{1 + 1} + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 {\sqrt{21}}^{2} + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.4

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 6.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 \cdot 21^{\frac{2}{2}} + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 \cdot 21^{\frac{2}{2}} + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 \cdot 21^{1} + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 688800 \cdot 21 + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.5

Multipliez $688800$ par $21$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 14464800 + 800 \sqrt{21} \cdot 1600}{13007741}$

Étape 6.1.6

Multipliez $1600$ par $800$ .

$\frac{- 7557858 \sqrt{21} - 14044800 + 14464800 + 1280000 \sqrt{21}}{13007741}$

Étape 6.2

Additionnez $- 7557858 \sqrt{21}$ et $1280000 \sqrt{21}$ .

$\frac{- 14044800 + 14464800 - 6277858 \sqrt{21}}{13007741}$

Étape 6.3

Additionnez $- 14044800$ et $14464800$ .

$\frac{420000 - 6277858 \sqrt{21}}{13007741}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{420000 - 6277858 \sqrt{21}}{13007741}$

Forme décimale :

$- 2.17937607 \dots$