Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2}{\sqrt{7}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7^{1}}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{2 \sqrt{7}}{7}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{7}{7} - \frac{2 \sqrt{7}}{7}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}}{1 + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}}{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}}{\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7}}}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2}$ par $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2} \cdot \frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2})}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + 2}$ par $\frac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2)}{(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} - 2)}}$

Étape 6.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2)}{{\sqrt{7}}^{2} + \sqrt{7} \cdot - 2 + 2 \sqrt{7} - 4}}$

Étape 6.3

Simplifiez

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2)}{3}}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot - 2}{3}}$

Étape 6.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} \cdot - 2}{3}}$

Étape 6.6

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 7} - 2 \cdot \sqrt{7}}{3}}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{49} - 2 \cdot \sqrt{7}}{3}}$

Étape 7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{\sqrt{7^{2}} - 2 \cdot \sqrt{7}}{3}}$

Étape 7.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{7 - 2 \sqrt{7}}{3}}$

Étape 8

Multipliez $\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7} \cdot \frac{7 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{7}$ par $\frac{7 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Étape 8.2

Élevez $7 - 2 \sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{1} (7 - 2 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Étape 8.3

Élevez $7 - 2 \sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{1} {(7 - 2 \sqrt{7})}^{1}}{7 \cdot 3}}$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{1 + 1}}{7 \cdot 3}}$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{7 \cdot 3}}$

Étape 8.6

Multipliez $7$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{{(7 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{21}}$

Étape 9

Réécrivez ${(7 - 2 \sqrt{7})}^{2}$ comme $(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})$ .

$\sqrt{\frac{(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})}{21}}$

Étape 10

Développez $(7 - 2 \sqrt{7}) (7 - 2 \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{7 (7 - 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (7 - 2 \sqrt{7})}{21}}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{7 \cdot 7 + 7 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (7 - 2 \sqrt{7})}{21}}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{7 \cdot 7 + 7 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 7 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Étape 11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\sqrt{\frac{49 + 7 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 7 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Étape 11.1.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} \cdot 7 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Étape 11.1.3

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{21}}$

Étape 11.1.4

Multipliez $- 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})$ .

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Étape 11.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{7}}{21}}$

Étape 11.1.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{21}}$

Étape 11.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{21}}$

Étape 11.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{21}}$

Étape 11.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{2}}{21}}$

Étape 11.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 11.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{21}}$

Étape 11.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{21}}$

Étape 11.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{21}}$

Étape 11.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{21}}$

Étape 11.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{1}}{21}}$

Étape 11.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{21}}$

Étape 11.1.6

Multipliez $4$ par $7$ .

$\sqrt{\frac{49 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7} + 28}{21}}$

Étape 11.2

Additionnez $49$ et $28$ .

$\sqrt{\frac{77 - 14 \sqrt{7} - 14 \sqrt{7}}{21}}$

Étape 11.3

Soustrayez $14 \sqrt{7}$ de $- 14 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{77 - 28 \sqrt{7}}{21}}$

Étape 12

Annulez le facteur commun à $77 - 28 \sqrt{7}$ et $21$ .

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Étape 12.1

Factorisez $7$ à partir de $77$ .

$\sqrt{\frac{7 (11) - 28 \sqrt{7}}{21}}$

Étape 12.2

Factorisez $7$ à partir de $- 28 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{7 (11) + 7 (- 4 \sqrt{7})}{21}}$

Étape 12.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (11) + 7 (- 4 \sqrt{7})$ .

$\sqrt{\frac{7 (11 - 4 \sqrt{7})}{21}}$

Étape 12.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.4.1

Factorisez $7$ à partir de $21$ .

$\sqrt{\frac{7 (11 - 4 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Étape 12.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{7 (11 - 4 \sqrt{7})}{7 \cdot 3}}$

Étape 12.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{11 - 4 \sqrt{7}}{3}}$

Étape 13

Réécrivez $\sqrt{\frac{11 - 4 \sqrt{7}}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$

Étape 14

Multipliez $\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 15

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 15.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 15.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 15.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 15.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 15.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 15.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 15.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 15.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 15.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{11 - 4 \sqrt{7}} \sqrt{3}}{3}$

Étape 16

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}}{3}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{(11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}}{3}$

Forme décimale :

$0.37282469 \dots$