Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\frac{1 - \frac{8 \sqrt{113}}{113}}{1 + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Étape 1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{113}{113} - \frac{8 \sqrt{113}}{113}}{1 + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113}}{1 + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Étape 3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113}}{\frac{113}{113} + \frac{8 \sqrt{113}}{113}}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113}}{\frac{113 + 8 \sqrt{113}}{113}}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113} \cdot \frac{113}{113 + 8 \sqrt{113}}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $113$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113} \cdot \frac{113}{113 + 8 \sqrt{113}}}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}}$ par $\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 - 8 \sqrt{113}}$ .

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) (\frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}} \cdot \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 - 8 \sqrt{113}})}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{113 + 8 \sqrt{113}}$ par $\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 - 8 \sqrt{113}}$ .

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{(113 + 8 \sqrt{113}) (113 - 8 \sqrt{113})}}$

Étape 9

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{12769 - 904 \sqrt{113} + 904 \sqrt{113} - 64 {\sqrt{113}}^{2}}}$

Étape 10

Simplifiez

$\sqrt{(113 - 8 \sqrt{113}) \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{113 \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $113$ .

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Étape 12.1

Factorisez $113$ à partir de $5537$ .

$\sqrt{113 \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 (49)} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{113 \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{113 \cdot 49} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} - 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Étape 13

Multipliez $- 8 \sqrt{113} \frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}$ .

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Étape 13.1

Associez $\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{5537}$ et $- 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8}{5537} \sqrt{113}}$

Étape 13.2

Associez $\frac{(113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8}{5537}$ et $\sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8 \sqrt{113}}{5537}}$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1

Regroupez $\sqrt{113}$ et $113 - 8 \sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{\sqrt{113} (113 - 8 \sqrt{113}) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(\sqrt{113} \cdot 113 + \sqrt{113} (- 8 \sqrt{113})) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.3

Déplacez $113$ à gauche de $\sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} + \sqrt{113} (- 8 \sqrt{113})) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.4

Multipliez $\sqrt{113} (- 8 \sqrt{113})$ .

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Étape 14.4.1

Élevez $\sqrt{113}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 ({\sqrt{113}}^{1} \sqrt{113})) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.4.2

Élevez $\sqrt{113}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 ({\sqrt{113}}^{1} {\sqrt{113}}^{1})) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 {\sqrt{113}}^{1 + 1}) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \cdot \sqrt{113} - 8 {\sqrt{113}}^{2}) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.5.1

Réécrivez ${\sqrt{113}}^{2}$ comme $113$ .

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Étape 14.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{113}$ comme $113^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 {(113^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{\frac{2}{2}}) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{\frac{2}{2}}) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113^{1}) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.5.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 8 \cdot 113) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.5.2

Multipliez $- 8$ par $113$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(113 \sqrt{113} - 904) \cdot - 8}{5537}}$

Étape 14.6

Annulez le facteur commun à $113 \sqrt{113} - 904$ et $5537$ .

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Étape 14.6.1

Factorisez $113$ à partir de $(113 \sqrt{113} - 904) \cdot - 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{113 ((\sqrt{113} - 8) \cdot - 8)}{5537}}$

Étape 14.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.6.2.1

Factorisez $113$ à partir de $5537$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{113 ((\sqrt{113} - 8) \cdot - 8)}{113 (49)}}$

Étape 14.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{113 ((\sqrt{113} - 8) \cdot - 8)}{113 \cdot 49}}$

Étape 14.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{(\sqrt{113} - 8) \cdot - 8}{49}}$

Étape 14.7

Déplacez $- 8$ à gauche de $\sqrt{113} - 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} + \frac{- 8 \cdot (\sqrt{113} - 8)}{49}}$

Étape 14.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113}}{49} - \frac{8 (\sqrt{113} - 8)}{49}}$

Étape 15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113} - 8 (\sqrt{113} - 8)}{49}}$

Étape 16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113} - 8 \sqrt{113} - 8 \cdot - 8}{49}}$

Étape 16.2

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$\sqrt{\frac{113 - 8 \sqrt{113} - 8 \sqrt{113} + 64}{49}}$

Étape 17

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 17.1

Additionnez $113$ et $64$ .

$\sqrt{\frac{177 - 8 \sqrt{113} - 8 \sqrt{113}}{49}}$

Étape 17.2

Soustrayez $8 \sqrt{113}$ de $- 8 \sqrt{113}$ .

$\sqrt{\frac{177 - 16 \sqrt{113}}{49}}$

Étape 18

Réécrivez $\sqrt{\frac{177 - 16 \sqrt{113}}{49}}$ comme $\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{\sqrt{49}}$ .

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{\sqrt{49}}$

Étape 19

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 19.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{\sqrt{7^{2}}}$

Étape 19.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{7}$

Étape 20

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{177 - 16 \sqrt{113}}}{7}$

Forme décimale :

$0.37573511 \dots$