Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\frac{1 + \frac{1}{5 \sqrt{2}}}{2}}$

Étape 1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{5 \sqrt{2}} + \frac{1}{5 \sqrt{2}}}{2}}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}}}{2}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{1}{2}}$

Étape 5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{2} + 1}{5 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{5 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 6

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{(5 \sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{5 \sqrt{2} \sqrt{2} + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 8

Multipliez $5 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 8.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 8.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{5 {\sqrt{2}}^{2} + 1 \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 9

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{5 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 10.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 10.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 10.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 10.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 10.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{1} + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 10.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2 + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 10.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{10 + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 11

Multipliez $\frac{10 + \sqrt{2}}{10} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{10 + \sqrt{2}}{10}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{10 + \sqrt{2}}{10 \cdot 2}}$

Étape 11.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{10 + \sqrt{2}}{20}}$

Étape 12

Réécrivez $\sqrt{\frac{10 + \sqrt{2}}{20}}$ comme $\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{\sqrt{20}}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{\sqrt{20}}$

Étape 13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 13.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (5)}}$

Étape 13.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Étape 13.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{5}}$

Étape 14

Multipliez $\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 15

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 15.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 15.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Étape 15.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Étape 15.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 15.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 15.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 15.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 15.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 15.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

Étape 15.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{10 + \sqrt{2}} \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Étape 16

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(10 + \sqrt{2}) \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Étape 17

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{(10 + \sqrt{2}) \cdot 5}}{10}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{(10 + \sqrt{2}) \cdot 5}}{10}$

Forme décimale :

$0.75545395 \dots$