Trigonométrie Exemples

$2 {(\frac{\sqrt{3} - 1}{2})}^{3}$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ .

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{2^{3}}$

Étape 1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{8}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{2 (4)}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{4}$

Étape 3

Simplifiez ${(\sqrt{3} - 1)}^{3}$ .

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Étape 3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{{\sqrt{3}}^{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3^{3}} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{27} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.3

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{1} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.6

Multipliez $3 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 9 \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} \cdot 1 + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Étape 3.2.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} - 1}{4}$

Étape 3.3

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 9 + 6 \sqrt{3} - 1}{4}$

Étape 3.4

Soustrayez $1$ de $- 9$ .

$\frac{- 10 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $- 10 + 6 \sqrt{3}$ et $4$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{2 (- 5) + 6 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (- 5) + 2 (3 \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 5) + 2 (3 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 5 + 3 \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (- 5 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 5 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 + 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{- 1 (5) + 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (5) - (- 3 \sqrt{3})}{2}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (- 3 \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 (5 - 3 \sqrt{3})}{2}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 - 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{5 - 3 \sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$0.09807621 \dots$