Trigonométrie Exemples

$y = 3 \cos (x - 3) + 1$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 3$

$b = 1$

$c = 3$

$d = 1$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $3$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 3.1

Déterminez la période de $3 \cos (x - 3)$ .

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Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.1.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2

Déterminez la période de $1$ .

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Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$2 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{3}{1}$

Étape 4.3

Divisez $3$ par $1$ .

Déphasage : $3$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $3$

Période : $2 π$

Déphasage : $3$ ( $3$ à droite)

Décalage vertical : $1$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 3 \cos ((3) - 3) + 1$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (3) = 3 \cos (0) + 1$

Étape 6.1.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (3) = 3 \cdot 1 + 1$

Étape 6.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (3) = 3 + 1$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (3) = 4$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{2} + 3$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + 3$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2} + 3) = 3 \cos ((\frac{π}{2} + 3) - 3) + 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{π}{2} + 0) + 1$

Étape 6.2.2.1.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{π}{2}) + 1$

Étape 6.2.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 3 \cdot 0 + 1$

Étape 6.2.2.1.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 0 + 1$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 3) = 1$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = π + 3$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $π + 3$ dans l’expression.

$f (π + 3) = 3 \cos ((π + 3) - 3) + 1$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (π + 3) = 3 \cos (π + 0) + 1$

Étape 6.3.2.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$f (π + 3) = 3 \cos (π) + 1$

Étape 6.3.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (π + 3) = 3 (- \cos (0)) + 1$

Étape 6.3.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π + 3) = 3 (- 1 \cdot 1) + 1$

Étape 6.3.2.1.5

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.3.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π + 3) = 3 \cdot - 1 + 1$

Étape 6.3.2.1.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (π + 3) = - 3 + 1$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$f (π + 3) = - 2$

Étape 6.3.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{2} + 3$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2} + 3$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cos ((\frac{3 π}{2} + 3) - 3) + 1$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} + 0) + 1$

Étape 6.4.2.1.2

Additionnez $\frac{3 π}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{3 π}{2}) + 1$

Étape 6.4.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cos (\frac{π}{2}) + 1$

Étape 6.4.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 3 \cdot 0 + 1$

Étape 6.4.2.1.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 0 + 1$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{3 π}{2} + 3) = 1$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 2 π + 3$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $2 π + 3$ dans l’expression.

$f (2 π + 3) = 3 \cos ((2 π + 3) - 3) + 1$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.2.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (2 π + 3) = 3 \cos (2 π + 0) + 1$

Étape 6.5.2.1.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$f (2 π + 3) = 3 \cos (2 π) + 1$

Étape 6.5.2.1.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (2 π + 3) = 3 \cos (0) + 1$

Étape 6.5.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (2 π + 3) = 3 \cdot 1 + 1$

Étape 6.5.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (2 π + 3) = 3 + 1$

Étape 6.5.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (2 π + 3) = 4$

Étape 6.5.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 3 & 4 \\ \frac{π}{2} + 3 & 1 \\ π + 3 & - 2 \\ \frac{3 π}{2} + 3 & 1 \\ 2 π + 3 & 4 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $3$

Période : $2 π$

Déphasage : $3$ ( $3$ à droite)

Décalage vertical : $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 3 & 4 \\ \frac{π}{2} + 3 & 1 \\ π + 3 & - 2 \\ \frac{3 π}{2} + 3 & 1 \\ 2 π + 3 & 4 \end{array}$

Étape 8