Trigonométrie Exemples

$(5, - 4 \sqrt{5})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(5, - 4 \sqrt{5})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(5, 0)$ et $(5, - 4 \sqrt{5})$ .

Opposé : $- 4 \sqrt{5}$

Adjacent : $5$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + {(- 4 \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{25 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 16 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5^{1}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5}$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Multipliez $16$ par $5$ .

$\sqrt{25 + 80}$

Étape 2.3.2

Additionnez $25$ et $80$ .

$\sqrt{105}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{- 4 \sqrt{5}}{\sqrt{105}}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{5}}{\sqrt{105}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Associez $\sqrt{5}$ et $\sqrt{105}$ en un radical unique.

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{5}{105}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $5$ et $105$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{5 (1)}{105}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $105$ .

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 21}}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 21}}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{1}{21}}$

Étape 4.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{21}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{21}}$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{21}}$

Étape 4.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{1}{\sqrt{21}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\sin (θ) = - 4 (\frac{1}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}})$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21}$

Étape 4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21}$

Étape 4.7

Associez $- 4$ et $\frac{\sqrt{21}}{21}$ .

$\sin (θ) = \frac{- 4 \sqrt{21}}{21}$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{4 \sqrt{21}}{21}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = - \frac{4 \sqrt{21}}{21} \approx - 0.87287156$