Trigonométrie Exemples

$(6, \frac{21 π}{4})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(6, \frac{21 π}{4})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(6, 0)$ et $(6, \frac{21 π}{4})$ .

Opposé : $\frac{21 π}{4}$

Adjacent : $6$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 + {(\frac{21 π}{4})}^{2}}$

Étape 2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{21 π}{4}$ .

$\sqrt{36 + \frac{{(21 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $21 π$ .

$\sqrt{36 + \frac{21^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.3

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{441 π^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Étape 2.5

Pour écrire $36$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{36 \cdot \frac{16}{16} + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Étape 2.6

Associez $36$ et $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 16}{16} + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 16 + 441 π^{2}}{16}}$

Étape 2.7.2

Multipliez $36$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{576 + 441 π^{2}}{16}}$

Étape 2.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{576 + 441 π^{2}}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{576 + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{576 + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Réécrivez $576 + 441 π^{2}$ comme $3^{2} (64 + 49 π^{2})$ .

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Étape 2.9.1.1

Factorisez $9$ à partir de $576$ .

$\frac{\sqrt{9 (64) + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.9.1.2

Factorisez $9$ à partir de $441 π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 (64) + 9 (49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.9.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (64) + 9 (49 π^{2})$ .

$\frac{\sqrt{9 (64 + 49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.9.1.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} (64 + 49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 2.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{\frac{21 π}{4}}{\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{21 π}{4}}{\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = \frac{21 π}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Étape 4.2

Associez.

$\sin (θ) = \frac{21 π \cdot 4}{4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $21$ et $3$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $21 π \cdot 4$ .

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})$ .

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{3 (4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}}))}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{3 (4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}}))}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 4}{4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{2}$ comme $64 + 49 π^{2}$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ comme ${(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{({(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}}$

Étape 4.6.6.5

Simplifiez

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}} \approx 0.93974924$