Trigonométrie Exemples

$(\frac{3}{4}, \frac{4}{5})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{3}{4}, \frac{4}{5})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{3}{4}, 0)$ et $(\frac{3}{4}, \frac{4}{5})$ .

Opposé : $\frac{4}{5}$

Adjacent : $\frac{3}{4}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{4^{2}} + {(\frac{4}{5})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{4^{2}} + {(\frac{4}{5})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + {(\frac{4}{5})}^{2}}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{4^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{16}{5^{2}}}$

Étape 2.6

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{16}{25}}$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{9}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{25}{25} + \frac{16}{25}}$

Étape 2.8

Pour écrire $\frac{16}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{25}{25} + \frac{16}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Étape 2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $400$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{9}{16}$ par $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{16 \cdot 25} + \frac{16}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $16$ par $25$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{400} + \frac{16}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Étape 2.9.3

Multipliez $\frac{16}{25}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{400} + \frac{16 \cdot 16}{25 \cdot 16}}$

Étape 2.9.4

Multipliez $25$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{400} + \frac{16 \cdot 16}{400}}$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25 + 16 \cdot 16}{400}}$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Multipliez $9$ par $25$ .

$\sqrt{\frac{225 + 16 \cdot 16}{400}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $16$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{225 + 256}{400}}$

Étape 2.11.3

Additionnez $225$ et $256$ .

$\sqrt{\frac{481}{400}}$

Étape 2.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{481}{400}}$ comme $\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{400}}$ .

$\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{400}}$

Étape 2.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.13.1

Réécrivez $400$ comme $20^{2}$ .

$\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{20^{2}}}$

Étape 2.13.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{481}}{20}$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{481}}{20}}$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{481}}{20}}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (θ) = \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{\sqrt{481}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 (5)}{\sqrt{481}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 \cdot 5}{\sqrt{481}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = 3 (\frac{5}{\sqrt{481}})$

Étape 4.3

Associez $3$ et $\frac{5}{\sqrt{481}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{481}}$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\cos (θ) = \frac{15}{\sqrt{481}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{15}{\sqrt{481}}$ par $\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{481}}$ .

$\cos (θ) = \frac{15}{\sqrt{481}} \cdot \frac{\sqrt{481}}{\sqrt{481}}$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{15}{\sqrt{481}}$ par $\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{481}}$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{\sqrt{481} \sqrt{481}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{481}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{\sqrt{481} \sqrt{481}}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{481}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{\sqrt{481} \sqrt{481}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{{\sqrt{481}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{{\sqrt{481}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{481}}^{2}$ comme $481$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{481}$ comme $481^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{{(481^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481}$

Étape 4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481} \approx 0.68394112$