Trigonométrie Exemples

$(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, 0)$ et $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ .

Opposé : $\frac{1}{2}$

Adjacent : $- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{{(- (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{6^{1}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{6}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 2.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\sqrt{\frac{2 (3)}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.9.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 2.9.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1}{4}}$

Étape 2.10

Pour écrire $\frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}}$

Étape 2.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.11.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2 + 1}{4}}$

Étape 2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{6 + 1}{4}}$

Étape 2.13.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{7}{4}}$

Étape 2.14

Réécrivez $\sqrt{\frac{7}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.15.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.15.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - \sqrt{3} \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Étape 4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cos (θ) = - \sqrt{2 \cdot 3} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$\cos (θ) = - \sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Étape 4.7

Associez $\frac{1}{\sqrt{7}}$ et $\sqrt{6}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Étape 4.8

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Étape 4.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.9.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.9.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.9.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 4.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 4.9.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Étape 4.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Étape 4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.10.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Étape 4.10.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{42}}{7}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{42}}{7} \approx - 0.92582009$