Trigonométrie Exemples

$(\frac{- \sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{- \sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{- \sqrt{2}}{5}, 0)$ et $(\frac{- \sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Opposé : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Adjacent : $\frac{- \sqrt{2}}{5}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{2}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{5}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{5}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{2^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{2}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 2.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2}{4}}$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{1}{2}}$

Étape 2.9

Pour écrire $\frac{2}{25}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 2.10

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25}}$

Étape 2.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $50$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.11.1

Multipliez $\frac{2}{25}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{25 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $25$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{50} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25}}$

Étape 2.11.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{50} + \frac{25}{2 \cdot 25}}$

Étape 2.11.4

Multipliez $2$ par $25$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{50} + \frac{25}{50}}$

Étape 2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 25}{50}}$

Étape 2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + 25}{50}}$

Étape 2.13.2

Additionnez $4$ et $25$ .

$\sqrt{\frac{29}{50}}$

Étape 2.14

Réécrivez $\sqrt{\frac{29}{50}}$ comme $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{50}}$ .

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{50}}$

Étape 2.15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.15.1

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.15.1.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{25 (2)}}$

Étape 2.15.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{5^{2} \cdot 2}}$

Étape 2.15.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}}$

Étape 2.16

Multipliez $\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.17

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.17.1

Multipliez $\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.17.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 2.17.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 2.17.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 2.17.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.17.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.17.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.17.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.17.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.17.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.17.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.17.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.17.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}}$

Étape 2.17.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2}$

Étape 2.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.18.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{29 \cdot 2}}{5 \cdot 2}$

Étape 2.18.2

Multipliez $29$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{58}}{5 \cdot 2}$

Étape 2.19

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{58}}{10}$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{\frac{- \sqrt{2}}{5}}{\frac{\sqrt{58}}{10}}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{2}}{5}}{\frac{\sqrt{58}}{10}}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{58}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{5 (2)}{\sqrt{58}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{58}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{58}}$

Étape 4.3

Associez $\frac{2}{\sqrt{58}}$ et $\sqrt{2}$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{58}}$

Étape 4.4

Associez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{58}$ en un radical unique.

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2}{58}})$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $58$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2 (1)}{58}})$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $58$ .

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 29}})$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 29}})$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{1}{29}})$

Étape 4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{29}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{29}}$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{29}}))$

Étape 4.7

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{1}{\sqrt{29}}))$

Étape 4.8

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{29}}$ par $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{1}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}))$

Étape 4.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.9.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{29}}$ par $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}))$

Étape 4.9.2

Élevez $\sqrt{29}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}))$

Étape 4.9.3

Élevez $\sqrt{29}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}))$

Étape 4.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}))$

Étape 4.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}))$

Étape 4.9.6

Réécrivez ${\sqrt{29}}^{2}$ comme $29$ .

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Étape 4.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{29}$ comme $29^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}))$

Étape 4.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))$

Étape 4.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}))$

Étape 4.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}))$

Étape 4.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29}))$

Étape 4.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29}))$

Étape 4.10

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{29}}{29}$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29} \approx - 0.37139067$