Trigonométrie Exemples

$(- \frac{5}{12}, \frac{12}{13})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- \frac{5}{12}, \frac{12}{13})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- \frac{5}{12}, 0)$ et $(- \frac{5}{12}, \frac{12}{13})$ .

Opposé : $\frac{12}{13}$

Adjacent : $- \frac{5}{12}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{12}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{12})}^{2} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{12}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{12^{2}} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{5^{2}}{12^{2}} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{12^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{12^{2}} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{12^{2}} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{144} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

Étape 2.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{12}{13}$ .

$\sqrt{\frac{25}{144} + \frac{12^{2}}{13^{2}}}$

Étape 2.7

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{144} + \frac{144}{13^{2}}}$

Étape 2.8

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{144} + \frac{144}{169}}$

Étape 2.9

Pour écrire $\frac{25}{144}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{169}{169}$ .

$\sqrt{\frac{25}{144} \cdot \frac{169}{169} + \frac{144}{169}}$

Étape 2.10

Pour écrire $\frac{144}{169}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{144}{144}$ .

$\sqrt{\frac{25}{144} \cdot \frac{169}{169} + \frac{144}{169} \cdot \frac{144}{144}}$

Étape 2.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $24336$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.11.1

Multipliez $\frac{25}{144}$ par $\frac{169}{169}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169}{144 \cdot 169} + \frac{144}{169} \cdot \frac{144}{144}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $144$ par $169$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169}{24336} + \frac{144}{169} \cdot \frac{144}{144}}$

Étape 2.11.3

Multipliez $\frac{144}{169}$ par $\frac{144}{144}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169}{24336} + \frac{144 \cdot 144}{169 \cdot 144}}$

Étape 2.11.4

Multipliez $169$ par $144$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169}{24336} + \frac{144 \cdot 144}{24336}}$

Étape 2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169 + 144 \cdot 144}{24336}}$

Étape 2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.1

Multipliez $25$ par $169$ .

$\sqrt{\frac{4225 + 144 \cdot 144}{24336}}$

Étape 2.13.2

Multipliez $144$ par $144$ .

$\sqrt{\frac{4225 + 20736}{24336}}$

Étape 2.13.3

Additionnez $4225$ et $20736$ .

$\sqrt{\frac{24961}{24336}}$

Étape 2.14

Réécrivez $\sqrt{\frac{24961}{24336}}$ comme $\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24336}}$ .

$\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24336}}$

Étape 2.15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.15.1

Réécrivez $24336$ comme $156^{2}$ .

$\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{156^{2}}}$

Étape 2.15.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{24961}}{156}$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{- \frac{5}{12}}{\frac{\sqrt{24961}}{156}}$ .

$\frac{- \frac{5}{12}}{\frac{\sqrt{24961}}{156}}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (θ) = - \frac{5}{12} \cdot \frac{156}{\sqrt{24961}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{12}$ dans le numérateur.

$\cos (θ) = \frac{- 5}{12} \cdot \frac{156}{\sqrt{24961}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $12$ à partir de $156$ .

$\cos (θ) = \frac{- 5}{12} \cdot \frac{12 (13)}{\sqrt{24961}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{- 5}{12} \cdot \frac{12 \cdot 13}{\sqrt{24961}}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - 5 \frac{13}{\sqrt{24961}}$

Étape 4.3

Associez $- 5$ et $\frac{13}{\sqrt{24961}}$ .

$\cos (θ) = \frac{- 5 \cdot 13}{\sqrt{24961}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 5$ par $13$ .

$\cos (θ) = \frac{- 65}{\sqrt{24961}}$

Étape 4.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{65}{\sqrt{24961}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{65}{\sqrt{24961}}$ par $\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24961}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{65}{\sqrt{24961}} \cdot \frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24961}})$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{65}{\sqrt{24961}}$ par $\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24961}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{\sqrt{24961} \sqrt{24961}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{24961}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{\sqrt{24961} \sqrt{24961}}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{24961}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{\sqrt{24961} \sqrt{24961}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{{\sqrt{24961}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{{\sqrt{24961}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{24961}}^{2}$ comme $24961$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{24961}$ comme $24961^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{{(24961^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961}$

Étape 4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961} \approx - 0.41141712$