Trigonométrie Exemples

$(2, - \frac{π}{4})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(2, - \frac{π}{4})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(2, 0)$ et $(2, - \frac{π}{4})$ .

Opposé : $- \frac{π}{4}$

Adjacent : $2$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(- \frac{π}{4})}^{2}}$

Étape 2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{π}{4}$ .

$\sqrt{4 + {(- 1)}^{2} {(\frac{π}{4})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{4}$ .

$\sqrt{4 + {(- 1)}^{2} \frac{π^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + 1 \frac{π^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{π^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{16}}$

Étape 2.6

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{π^{2}}{16}}$

Étape 2.7

Associez $4$ et $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{π^{2}}{16}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 16 + π^{2}}{16}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{16}}$

Étape 2.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 2.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{4}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{- \frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = - \frac{π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$\sin (θ) = \frac{- π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{- π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - π \frac{1}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.3

Associez $\frac{1}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ et $π$ .

$\sin (θ) = - \frac{π}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{π}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{π}{\sqrt{64 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}})$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{π}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.5.2

Élevez $\sqrt{64 + π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{64 + π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}}$

Étape 4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}$ comme $64 + π^{2}$ .

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Étape 4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{64 + π^{2}}$ comme ${(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{({(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Étape 4.5.6.5

Simplifiez

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}} \approx - 0.36552491$