Trigonométrie Exemples

$(- 2, \frac{3}{4} p)$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- 2, \frac{3}{4} p)$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- 2, 0)$ et $(- 2, \frac{3}{4} p)$ .

Opposé : $\frac{3}{4} p$

Adjacent : $- 2$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(\frac{3}{4} p)}^{2}}$

Étape 2.2

Associez $\frac{3}{4}$ et $p$ .

$\sqrt{4 + {(\frac{3 p}{4})}^{2}}$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 p}{4}$ .

$\sqrt{4 + \frac{{(3 p)}^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de produit à $3 p$ .

$\sqrt{4 + \frac{3^{2} p^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{9 p^{2}}{4^{2}}}$

Étape 2.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{9 p^{2}}{16}}$

Étape 2.6

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{9 p^{2}}{16}}$

Étape 2.7

Associez $4$ et $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{9 p^{2}}{16}}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 16 + 9 p^{2}}{16}}$

Étape 2.9

Multipliez $4$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{64 + 9 p^{2}}{16}}$

Étape 2.10

Réécrivez $\frac{64 + 9 p^{2}}{16}$ comme ${(\frac{1}{4})}^{2} (64 + 9 p^{2})$ .

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Étape 2.10.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $64 + 9 p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (64 + 9 p^{2})}{16}}$

Étape 2.10.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (64 + 9 p^{2})}{4^{2} \cdot 1}}$

Étape 2.10.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (64 + 9 p^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (64 + 9 p^{2})}$

Étape 2.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{4} \sqrt{64 + 9 p^{2}}$

Étape 2.12

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{4}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{\frac{3}{4} p}{\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{3}{4} p}{\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = \frac{3}{4} \cdot (p (\frac{4}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}))$

Étape 4.2

Associez $\frac{3}{4}$ et $p$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Étape 4.3

Associez.

$\sin (θ) = \frac{3 p \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{3 p \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}} \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}} \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}} \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{64 + 9 p^{2}}}^{2}$ comme $64 + 9 p^{2}$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ comme ${(64 + 9 p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{({(64 + 9 p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{(64 + 9 p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{(64 + 9 p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{(64 + 9 p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}}$

Étape 4.6.6.5

Simplifiez

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}} \approx \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}}$