Trigonométrie Exemples

$(3, \frac{π}{3})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(3, \frac{π}{3})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(3, 0)$ et $(3, \frac{π}{3})$ .

Opposé : $\frac{π}{3}$

Adjacent : $3$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(\frac{π}{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{3}$ .

$\sqrt{9 + \frac{π^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + \frac{π^{2}}{9}}$

Étape 2.4

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{π^{2}}{9}}$

Étape 2.5

Associez $9$ et $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{π^{2}}{9}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9 + π^{2}}{9}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{81 + π^{2}}{9}}$

Étape 2.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{81 + π^{2}}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Étape 2.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.8.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 2.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{3}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{\frac{π}{3}}{\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{3}}$ .

$\frac{\frac{π}{3}}{\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{3}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = \frac{π}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{81 + π^{2}}}$

Étape 4.2

Associez.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 3}{3 \sqrt{81 + π^{2}}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 3}{3 \sqrt{81 + π^{2}}}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{81 + π^{2}}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{π}{\sqrt{81 + π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{81 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{81 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{81 + π^{2}}}$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{π}{\sqrt{81 + π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{81 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{81 + π^{2}} \sqrt{81 + π^{2}}}$

Étape 4.5.2

Élevez $\sqrt{81 + π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{81 + π^{2}} \sqrt{81 + π^{2}}}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{81 + π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{\sqrt{81 + π^{2}} \sqrt{81 + π^{2}}}$

Étape 4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{{\sqrt{81 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{{\sqrt{81 + π^{2}}}^{2}}$

Étape 4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{81 + π^{2}}}^{2}$ comme $81 + π^{2}$ .

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Étape 4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{81 + π^{2}}$ comme ${(81 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{{({(81 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{{(81 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{{(81 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{{(81 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{81 + π^{2}}$

Étape 4.5.6.5

Simplifiez

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{81 + π^{2}}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{81 + π^{2}}}{81 + π^{2}} \approx 0.32956459$