Trigonométrie Exemples

$\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$ .

$\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$ .

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{(\sqrt{7} + i \sqrt{21}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{{\sqrt{7}}^{2} - i \sqrt{147} + i \sqrt{147} - i^{2} {\sqrt{21}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{28}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}$ et $28$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $7$ à partir de $(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})$ .

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{28}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $7$ à partir de $28$ .

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{7 (4)}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{7 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

Étape 3

Développez $(\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{21} (\sqrt{7} - i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{21} \sqrt{7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{21} \sqrt{7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{21 \cdot 7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $21$ par $7$ .

$\frac{\sqrt{147} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$\frac{\sqrt{49 (3)} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2} \cdot 3} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{7 \sqrt{3} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.5

Multipliez $\sqrt{21} (- i \sqrt{21})$ .

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Étape 4.1.5.1

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i ({\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.5.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i ({\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 \sqrt{3} - i {\sqrt{21}}^{1 + 1} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i {\sqrt{21}}^{2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.6

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 4.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{1} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21 + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.7

Multipliez $21$ par $- 1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.8

Multipliez $i \sqrt{7} \sqrt{7}$ .

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Étape 4.1.8.1

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.8.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {\sqrt{7}}^{1 + 1} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {\sqrt{7}}^{2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.9

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{1} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7 + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.10

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 \cdot i + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.11

Multipliez $i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})$ .

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Étape 4.1.11.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- (i^{1} i) \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.11.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- i^{1 + 1} \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.11.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- i^{2} \sqrt{21})}{4}$

Étape 4.1.11.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - i^{2} \sqrt{7 \cdot 21}}{4}$

Étape 4.1.11.6

Multipliez $7$ par $21$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - i^{2} \sqrt{147}}{4}$

Étape 4.1.12

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - - 1 \sqrt{147}}{4}$

Étape 4.1.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + 1 \sqrt{147}}{4}$

Étape 4.1.14

Multipliez $\sqrt{147}$ par $1$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{147}}{4}$

Étape 4.1.15

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.15.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{49 (3)}}{4}$

Étape 4.1.15.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{4}$

Étape 4.1.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + 7 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2

Additionnez $7 \sqrt{3}$ et $7 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 21 i + 7 i + 14 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3

Additionnez $- 21 i$ et $7 i$ .

$\frac{- 14 i + 14 \sqrt{3}}{4}$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $- 14 i$ et $14 \sqrt{3}$ .

$\frac{14 \sqrt{3} - 14 i}{4}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $14 \sqrt{3} - 14 i$ et $4$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $14 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3}) - 14 i}{4}$

Étape 6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 14 i$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3}) + 2 (- 7 i)}{4}$

Étape 6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 \sqrt{3}) + 2 (- 7 i)$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{4}$

Étape 6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{2 (2)}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{2 \cdot 2}$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 \sqrt{3} - 7 i}{2}$