Trigonométrie Exemples

$(\frac{5}{8}, - \frac{3}{8})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{5}{8}, - \frac{3}{8})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{5}{8}, 0)$ et $(\frac{5}{8}, - \frac{3}{8})$ .

Opposé : $- \frac{3}{8}$

Adjacent : $\frac{5}{8}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{8}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{8^{2}} + {(- \frac{3}{8})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{8^{2}} + {(- \frac{3}{8})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{3}{8})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{8}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{8})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{8}$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{8^{2}}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + 1 \frac{3^{2}}{8^{2}}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{3^{2}}{8^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{3^{2}}{8^{2}}}$

Étape 2.5.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{9}{8^{2}}}$

Étape 2.5.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{9}{64}}$

Étape 2.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{25 + 9}{64}}$

Étape 2.5.6

Additionnez $25$ et $9$ .

$\sqrt{\frac{34}{64}}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $34$ et $64$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$\sqrt{\frac{2 (17)}{64}}$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 17}{2 \cdot 32}}$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 17}{2 \cdot 32}}$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{17}{32}}$

Étape 2.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{17}{32}}$ comme $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{32}}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{32}}$

Étape 2.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.8.1

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.8.1.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{16 (2)}}$

Étape 2.8.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Étape 2.8.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{17}}{4 \sqrt{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $\frac{\sqrt{17}}{4 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt{17}}{4 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.10.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 2.10.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 2.10.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 2.10.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.10.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.10.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.10.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.10.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.10.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.10.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.10.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.10.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{1}}$

Étape 2.10.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{17 \cdot 2}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.11.2

Multipliez $17$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{34}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.12

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{34}}{8}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{- \frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{34}}{8}}$ .

$\frac{- \frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{34}}{8}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = - \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{34}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{8}$ dans le numérateur.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{34}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{34}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - 3 \frac{1}{\sqrt{34}}$

Étape 4.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{\sqrt{34}}$ .

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{34}}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{34}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

Étape 4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34} \approx - 0.51449575$