Trigonométrie Exemples

$(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{5}{6}, 0)$ et $(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$ .

Opposé : $\sqrt{\frac{11}{6}}$

Adjacent : $\frac{5}{6}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{6^{2}} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{6^{2}} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{11}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}})}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})}^{2}}$

Étape 2.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}})}^{2}}$

Étape 2.6.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}})}^{2}}$

Étape 2.6.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}})}^{2}}$

Étape 2.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Étape 2.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}})}^{2}}$

Étape 2.6.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 2.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Étape 2.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Étape 2.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Étape 2.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Étape 2.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{1}})}^{2}}$

Étape 2.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11 \cdot 6}}{6})}^{2}}$

Étape 2.7.2

Multipliez $11$ par $6$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{66}}{6})}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez les termes.

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Étape 2.8.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{66}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{{\sqrt{66}}^{2}}{6^{2}}}$

Étape 2.8.2

Réécrivez ${\sqrt{66}}^{2}$ comme $66$ .

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Étape 2.8.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{66}$ comme $66^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Étape 2.8.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Étape 2.8.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Étape 2.8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Étape 2.8.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{1}}{6^{2}}}$

Étape 2.8.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66}{6^{2}}}$

Étape 2.8.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66}{36}}$

Étape 2.8.4

Annulez le facteur commun à $66$ et $36$ .

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Étape 2.8.4.1

Factorisez $6$ à partir de $66$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 (11)}{36}}$

Étape 2.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 \cdot 11}{6 \cdot 6}}$

Étape 2.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 \cdot 11}{6 \cdot 6}}$

Étape 2.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11}{6}}$

Étape 2.9

Pour écrire $\frac{11}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11}{6} \cdot \frac{6}{6}}$

Étape 2.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.10.1

Multipliez $\frac{11}{6}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11 \cdot 6}{6 \cdot 6}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11 \cdot 6}{36}}$

Étape 2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{25 + 11 \cdot 6}{36}}$

Étape 2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.1

Multipliez $11$ par $6$ .

$\sqrt{\frac{25 + 66}{36}}$

Étape 2.12.2

Additionnez $25$ et $66$ .

$\sqrt{\frac{91}{36}}$

Étape 2.13

Réécrivez $\sqrt{\frac{91}{36}}$ comme $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{36}}$

Étape 2.14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.14.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{6^{2}}}$

Étape 2.14.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{91}}{6}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{\sqrt{\frac{11}{6}}}{\frac{\sqrt{91}}{6}}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{11}{6}}}{\frac{\sqrt{91}}{6}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{11}{6}} (\frac{6}{\sqrt{91}})$

Étape 4.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{11}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Étape 4.5.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \sqrt{11} \sqrt{6} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Étape 4.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (θ) = \sqrt{11 \cdot 6} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Étape 4.7

Multipliez $11$ par $6$ .

$\sin (θ) = \sqrt{66} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Étape 4.8

Associez $\sqrt{66}$ et $\frac{1}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$

Étape 4.9

Multipliez $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$ par $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}} \cdot \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$

Étape 4.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$ par $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Étape 4.10.2

Élevez $\sqrt{91}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Étape 4.10.3

Élevez $\sqrt{91}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Étape 4.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{\sqrt{91}}^{1 + 1}}$

Étape 4.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{\sqrt{91}}^{2}}$

Étape 4.10.6

Réécrivez ${\sqrt{91}}^{2}$ comme $91$ .

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Étape 4.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{91}$ comme $91^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{(91^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91}$

Étape 4.10.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91}$

Étape 4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66 \cdot 91}}{91}$

Étape 4.11.2

Multipliez $66$ par $91$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6006}}{91}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6006}}{91} \approx 0.85163062$