Trigonométrie Exemples

$(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{9}{11}, 0)$ et $(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$ .

Opposé : $\frac{40}{41}$

Adjacent : $\frac{9}{11}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{11}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{11^{2}} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{11^{2}} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{40}{41}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{40^{2}}{41^{2}}}$

Étape 2.5

Élevez $40$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{1600}{41^{2}}}$

Étape 2.6

Élevez $41$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{1600}{1681}}$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{81}{121}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1681}{1681}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} \cdot \frac{1681}{1681} + \frac{1600}{1681}}$

Étape 2.8

Pour écrire $\frac{1600}{1681}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{121}{121}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} \cdot \frac{1681}{1681} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Étape 2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $203401$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{81}{121}$ par $\frac{1681}{1681}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{121 \cdot 1681} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $121$ par $1681$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Étape 2.9.3

Multipliez $\frac{1600}{1681}$ par $\frac{121}{121}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600 \cdot 121}{1681 \cdot 121}}$

Étape 2.9.4

Multipliez $1681$ par $121$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600 \cdot 121}{203401}}$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681 + 1600 \cdot 121}{203401}}$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Multipliez $81$ par $1681$ .

$\sqrt{\frac{136161 + 1600 \cdot 121}{203401}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $1600$ par $121$ .

$\sqrt{\frac{136161 + 193600}{203401}}$

Étape 2.11.3

Additionnez $136161$ et $193600$ .

$\sqrt{\frac{329761}{203401}}$

Étape 2.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{329761}{203401}}$ comme $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{203401}}$ .

$\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{203401}}$

Étape 2.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.13.1

Réécrivez $203401$ comme $451^{2}$ .

$\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{451^{2}}}$

Étape 2.13.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{329761}}{451}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{\frac{40}{41}}{\frac{\sqrt{329761}}{451}}$ .

$\frac{\frac{40}{41}}{\frac{\sqrt{329761}}{451}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{451}{\sqrt{329761}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $41$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $41$ à partir de $451$ .

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{41 (11)}{\sqrt{329761}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{41 \cdot 11}{\sqrt{329761}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = 40 (\frac{11}{\sqrt{329761}})$

Étape 4.3

Associez $40$ et $\frac{11}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{40 \cdot 11}{\sqrt{329761}}$

Étape 4.4

Multipliez $40$ par $11$ .

$\sin (θ) = \frac{440}{\sqrt{329761}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{440}{\sqrt{329761}}$ par $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440}{\sqrt{329761}} \cdot \frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{440}{\sqrt{329761}}$ par $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{329761}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{329761}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{\sqrt{329761}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{\sqrt{329761}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{329761}}^{2}$ comme $329761$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{329761}$ comme $329761^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{(329761^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761}$

Étape 4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761} \approx 0.7662192$