Trigonométrie Exemples

$(\frac{3}{4}, \frac{7}{16})$

Étape 1

Pour déterminer le $\sin (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{3}{4}, \frac{7}{16})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{3}{4}, 0)$ et $(\frac{3}{4}, \frac{7}{16})$ .

Opposé : $\frac{7}{16}$

Adjacent : $\frac{3}{4}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{4^{2}} + {(\frac{7}{16})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{4^{2}} + {(\frac{7}{16})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + {(\frac{7}{16})}^{2}}$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{7^{2}}{16^{2}}}$

Étape 2.5

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{49}{16^{2}}}$

Étape 2.6

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{49}{256}}$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{9}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{49}{256}}$

Étape 2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $256$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $\frac{9}{16}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{49}{256}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $16$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{49}{256}}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 16 + 49}{256}}$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $9$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{144 + 49}{256}}$

Étape 2.10.2

Additionnez $144$ et $49$ .

$\sqrt{\frac{193}{256}}$

Étape 2.11

Réécrivez $\sqrt{\frac{193}{256}}$ comme $\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{256}}$ .

$\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{256}}$

Étape 2.12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.12.1

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{16^{2}}}$

Étape 2.12.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{193}}{16}$

Étape 3

$\sin (θ) = \frac{Opposé}{Hypoténuse}$ donc $\sin (θ) = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{\sqrt{193}}{16}}$ .

$\frac{\frac{7}{16}}{\frac{\sqrt{193}}{16}}$

Étape 4

Simplifiez $\sin (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (θ) = \frac{7}{16} \cdot \frac{16}{\sqrt{193}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{7}{16} \cdot \frac{16}{\sqrt{193}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = 7 (\frac{1}{\sqrt{193}})$

Étape 4.3

Associez $7$ et $\frac{1}{\sqrt{193}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7}{\sqrt{193}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{193}}$ par $\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{193}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7}{\sqrt{193}} \cdot \frac{\sqrt{193}}{\sqrt{193}}$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{193}}$ par $\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{193}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{\sqrt{193} \sqrt{193}}$

Étape 4.5.2

Élevez $\sqrt{193}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{\sqrt{193} \sqrt{193}}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{193}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{\sqrt{193} \sqrt{193}}$

Étape 4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{{\sqrt{193}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{{\sqrt{193}}^{2}}$

Étape 4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{193}}^{2}$ comme $193$ .

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Étape 4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{193}$ comme $193^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{{(193^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193}$

Étape 4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193} \approx 0.50387102$