Trigonométrie Exemples

$C = 64.41$ , $B = 54.23$ , $c = 12.75 m$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $b$ .

$\frac{\sin (54.23)}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $b$ .

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Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Évaluez $\sin (54.23)$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

Étape 3.1.2

Évaluez $\sin (64.41)$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75 m}$

Étape 3.1.3

Factorisez $0.90190792$ à partir de $0.90190792$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 m}$

Étape 3.1.4

Factorisez $12.75$ à partir de $12.75 m$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 (m)}$

Étape 3.1.5

Séparez les fractions.

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75} \cdot \frac{1}{m}$

Étape 3.1.6

Divisez $0.90190792$ par $12.75$ .

$\frac{0.81136999}{b} = 0.07073787 \frac{1}{m}$

Étape 3.1.7

Associez $0.07073787$ et $\frac{1}{m}$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$b, m$

Étape 3.2.2

Since $b, m$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $b^{1}, m^{1}$ .

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 3.2.6

Le facteur pour $b^{1}$ est $b$ lui-même.

$b^{1} = b$

$b$ se produit $1$ fois.

Étape 3.2.7

Le facteur pour $m^{1}$ est $m$ lui-même.

$m^{1} = m$

$m$ se produit $1$ fois.

Étape 3.2.8

Le plus petit multiple commun de $b^{1}, m^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$b \cdot m$

Étape 3.2.9

Multipliez $b$ par $m$ .

$b m$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ par $b m$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ par $b m$ .

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Factorisez $b$ à partir de $b m$ .

$\frac{0.81136999}{b} (b (m)) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun de $m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $m$ à partir de $b m$ .

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

Étape 3.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$0.81136999 m = 0.07073787 b$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.07073787 b = 0.81136999 m$ .

$0.07073787 b = 0.81136999 m$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $0.07073787 b = 0.81136999 m$ par $0.07073787$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.07073787 b = 0.81136999 m$ par $0.07073787$ .

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.07073787$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Factorisez $0.81136999$ à partir de $0.81136999 m$ .

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787}$

Étape 3.4.2.3.2

Factorisez $0.07073787$ à partir de $0.07073787$ .

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787 (1)}$

Étape 3.4.2.3.3

Séparez les fractions.

$b = \frac{0.81136999}{0.07073787} \cdot \frac{m}{1}$

Étape 3.4.2.3.4

Divisez $0.81136999$ par $0.07073787$ .

$b = 11.47009255 \frac{m}{1}$

Étape 3.4.2.3.5

Divisez $m$ par $1$ .

$b = 11.47009255 m$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 64.41 + 54.23 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 5.1

Additionnez $64.41$ et $54.23$ .

$A + 118.64 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $118.64$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 118.64$

Étape 5.2.2

Soustrayez $118.64$ de $180$ .

$A = 61.36$

Étape 6

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 7

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 8

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(11.47009255 m)}^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Étape 9

Simplifiez les résultats.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $11.47009255 m$ .

$a = \sqrt{{11.47009255}^{2} m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Étape 9.2

Élevez $11.47009255$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Étape 9.3

Appliquez la règle de produit à $12.75 m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {12.75}^{2} m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Étape 9.4

Élevez $12.75$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Étape 9.5

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.5.1

Déplacez $m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 (m \cdot m)) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Étape 9.5.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m^{2}) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Étape 9.6

Multipliez.

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Étape 9.6.1

Multipliez $11.47009255$ par $- 2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 22.9401851 m^{2} \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Étape 9.6.2

Multipliez $12.75$ par $- 22.9401851$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 292.48736011 m^{2} \cos (61.36)}$

Étape 9.7

Multipliez $\cos (61.36)$ par $- 292.48736011$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

Étape 9.8

Additionnez $131.56302318 m^{2}$ et $162.5625 m^{2}$ .

$a = \sqrt{294.12552318 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

Étape 9.9

Soustrayez $140.19056316 m^{2}$ de $294.12552318 m^{2}$ .

$a = \sqrt{153.93496001 m^{2}}$

Étape 9.10

Réécrivez $153.93496001 m^{2}$ comme ${(12.40705283 m)}^{2}$ .

$a = \sqrt{{(12.40705283 m)}^{2}}$

Étape 9.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = 12.40705283 m$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 61.36$

$B = 54.23$

$C = 64.41$

$a = 12.40705283 m$

$b = 11.47009255 m$

$c = 12.75 m$