Trigonométrie Exemples

$C = 56.4$ , $c = 31.3$ , $b = 25.7$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{25.7} = \frac{\sin (56.4)}{31.3}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $25.7$ .

$25.7 \frac{\sin (B)}{25.7} = 25.7 \frac{\sin (56.4)}{31.3}$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $25.7$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$25.7 \frac{\sin (B)}{25.7} = 25.7 \frac{\sin (56.4)}{31.3}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 25.7 \frac{\sin (56.4)}{31.3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $25.7 \frac{\sin (56.4)}{31.3}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Évaluez $\sin (56.4)$ .

$\sin (B) = 25.7 (\frac{0.83292124}{31.3})$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $0.83292124$ par $31.3$ .

$\sin (B) = 25.7 \cdot 0.0266109$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $25.7$ par $0.0266109$ .

$\sin (B) = 0.68390018$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $B$ de l’intérieur du sinus.

$B = \arcsin (0.68390018)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (0.68390018)$ .

$B = 43.14917444$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$B = 180 - 43.14917444$

Étape 3.6

Soustrayez $43.14917444$ de $180$ .

$B = 136.85082555$

Étape 3.7

La solution de l’équation est $B = 43.14917444$ .

$B = 43.14917444, 136.85082555$

Étape 3.8

Excluez l’angle non valide.

$B = 43.14917444$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 56.4 + 43.14917444 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 5.1

Additionnez $56.4$ et $43.14917444$ .

$A + 99.54917444 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $99.54917444$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 99.54917444$

Étape 5.2.2

Soustrayez $99.54917444$ de $180$ .

$A = 80.45082555$

Étape 6

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 7

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 8

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(25.7)}^{2} + {(31.3)}^{2} - 2 \cdot 25.7 \cdot 31.3 \cos (80.45082555)}$

Étape 9

Simplifiez les résultats.

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Étape 9.1

Élevez $25.7$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{660.49 + {(31.3)}^{2} - 2 \cdot 25.7 \cdot (31.3 \cos (80.45082555))}$

Étape 9.2

Élevez $31.3$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{660.49 + 979.69 - 2 \cdot 25.7 \cdot (31.3 \cos (80.45082555))}$

Étape 9.3

Multipliez $- 2 \cdot 25.7 \cdot 31.3$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 2$ par $25.7$ .

$a = \sqrt{660.49 + 979.69 - 51.4 \cdot (31.3 \cos (80.45082555))}$

Étape 9.3.2

Multipliez $- 51.4$ par $31.3$ .

$a = \sqrt{660.49 + 979.69 - 1608.82 \cos (80.45082555)}$

Étape 9.4

Multipliez $- 1608.82$ par $\cos (80.45082555)$ .

$a = \sqrt{660.49 + 979.69 - 266.89363405}$

Étape 9.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.5.1

Additionnez $660.49$ et $979.69$ .

$a = \sqrt{1640.18 - 266.89363405}$

Étape 9.5.2

Soustrayez $266.89363405$ de $1640.18$ .

$a = \sqrt{1373.28636594}$

Étape 9.6

Évaluez la racine.

$a = 37.05787859$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 80.45082555$

$B = 43.14917444$

$C = 56.4$

$a = 37.05787859$

$b = 25.7$

$c = 31.3$