Trigonométrie Exemples

$B = 32$ , $b = 100$ , $c = 150$

Étape 1

La loi des sinus produit un résultat d’angle ambigu. Cela signifie qu’il y a $2$ permettant de résoudre correctement l’équation. Pour le premier triangle, utilisez la première valeur d’angle possible.

Résolvez pour le premier triangle.

Étape 2

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{150} = \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $150$ .

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $150$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $150 \frac{\sin (32)}{100}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Factorisez $50$ à partir de $150$ .

$\sin (C) = 50 (3) \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Factorisez $50$ à partir de $100$ .

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 3 \frac{\sin (32)}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Associez $3$ et $\frac{\sin (32)}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{3 \sin (32)}{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Évaluez $\sin (32)$ .

$\sin (C) = \frac{3 \cdot 0.52991926}{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $3$ par $0.52991926$ .

$\sin (C) = \frac{1.58975779}{2}$

Étape 4.2.2.1.5

Divisez $1.58975779$ par $2$ .

$\sin (C) = 0.79487889$

Étape 4.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (0.79487889)$

Étape 4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.1

Évaluez $\arcsin (0.79487889)$ .

$C = 52.64381859$

Étape 4.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$C = 180 - 52.64381859$

Étape 4.6

Soustrayez $52.64381859$ de $180$ .

$C = 127.3561814$

Étape 4.7

La solution de l’équation est $C = 52.64381859$ .

$C = 52.64381859, 127.3561814$

Étape 5

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 52.64381859 + 32 = 180$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 6.1

Additionnez $52.64381859$ et $32$ .

$A + 84.64381859 = 180$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $84.64381859$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 84.64381859$

Étape 6.2.2

Soustrayez $84.64381859$ de $180$ .

$A = 95.3561814$

Étape 7

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 8

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 9

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(100)}^{2} + {(150)}^{2} - 2 \cdot 100 \cdot 150 \cos (95.3561814)}$

Étape 10

Simplifiez les résultats.

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Étape 10.1

Élevez $100$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{10000 + {(150)}^{2} - 2 \cdot 100 \cdot (150 \cos (95.3561814))}$

Étape 10.2

Élevez $150$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{10000 + 22500 - 2 \cdot 100 \cdot (150 \cos (95.3561814))}$

Étape 10.3

Multipliez $- 2 \cdot 100 \cdot 150$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $- 2$ par $100$ .

$a = \sqrt{10000 + 22500 - 200 \cdot (150 \cos (95.3561814))}$

Étape 10.3.2

Multipliez $- 200$ par $150$ .

$a = \sqrt{10000 + 22500 - 30000 \cos (95.3561814)}$

Étape 10.4

Additionnez $10000$ et $22500$ .

$a = \sqrt{32500 - 30000 \cos (95.3561814)}$

Étape 10.5

Réécrivez $32500 - 30000 \cos (95.3561814)$ comme $50^{2} (13 - 12 \cos (95.3561814))$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $2500$ à partir de $32500$ .

$a = \sqrt{2500 (13) - 30000 \cos (95.3561814)}$

Étape 10.5.2

Factorisez $2500$ à partir de $- 30000 \cos (95.3561814)$ .

$a = \sqrt{2500 (13) + 2500 (- 12 \cos (95.3561814))}$

Étape 10.5.3

Factorisez $2500$ à partir de $2500 (13) + 2500 (- 12 \cos (95.3561814))$ .

$a = \sqrt{2500 (13 - 12 \cos (95.3561814))}$

Étape 10.5.4

Réécrivez $2500$ comme $50^{2}$ .

$a = \sqrt{50^{2} (13 - 12 \cos (95.3561814))}$

Étape 10.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = 50 \sqrt{13 - 12 \cos (95.3561814)}$

Étape 11

Pour le deuxième triangle, utilisez la deuxième valeur d’angle possible.

Résolvez pour le deuxième triangle.

Étape 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 13

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{150} = \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 14

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 14.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $150$ .

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 14.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 14.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun de $150$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$150 \frac{\sin (C)}{150} = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 14.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 150 \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez $150 \frac{\sin (32)}{100}$ .

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Étape 14.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1.1.1

Factorisez $50$ à partir de $150$ .

$\sin (C) = 50 (3) \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 14.2.2.1.1.2

Factorisez $50$ à partir de $100$ .

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Étape 14.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 50 \cdot 3 \frac{\sin (32)}{50 \cdot 2}$

Étape 14.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 3 \frac{\sin (32)}{2}$

Étape 14.2.2.1.2

Associez $3$ et $\frac{\sin (32)}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{3 \sin (32)}{2}$

Étape 14.2.2.1.3

Évaluez $\sin (32)$ .

$\sin (C) = \frac{3 \cdot 0.52991926}{2}$

Étape 14.2.2.1.4

Multipliez $3$ par $0.52991926$ .

$\sin (C) = \frac{1.58975779}{2}$

Étape 14.2.2.1.5

Divisez $1.58975779$ par $2$ .

$\sin (C) = 0.79487889$

Étape 14.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (0.79487889)$

Étape 14.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.4.1

Évaluez $\arcsin (0.79487889)$ .

$C = 52.64381859$

Étape 14.5

$C = 180 - 52.64381859$

Étape 14.6

Soustrayez $52.64381859$ de $180$ .

$C = 127.3561814$

Étape 14.7

La solution de l’équation est $C = 52.64381859$ .

$C = 52.64381859, 127.3561814$

Étape 15

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 127.3561814 + 32 = 180$

Étape 16

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 16.1

Additionnez $127.3561814$ et $32$ .

$A + 159.3561814 = 180$

Étape 16.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Soustrayez $159.3561814$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 159.3561814$

Étape 16.2.2

Soustrayez $159.3561814$ de $180$ .

$A = 20.64381859$

Étape 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 18

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (20.64381859)}{a} = \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 19

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 19.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Évaluez $\sin (20.64381859)$ .

$\frac{0.35255742}{a} = \frac{\sin (32)}{100}$

Étape 19.1.2

Évaluez $\sin (32)$ .

$\frac{0.35255742}{a} = \frac{0.52991926}{100}$

Étape 19.1.3

Divisez $0.52991926$ par $100$ .

$\frac{0.35255742}{a} = 0.00529919$

Étape 19.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 19.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a, 1$

Étape 19.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$a$

Étape 19.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.35255742}{a} = 0.00529919$ par $a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 19.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.35255742}{a} = 0.00529919$ par $a$ .

$\frac{0.35255742}{a} a = 0.00529919 a$

Étape 19.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.35255742}{a} a = 0.00529919 a$

Étape 19.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.35255742 = 0.00529919 a$

Étape 19.4

Résolvez l’équation.

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Étape 19.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.00529919 a = 0.35255742$ .

$0.00529919 a = 0.35255742$

Étape 19.4.2

Divisez chaque terme dans $0.00529919 a = 0.35255742$ par $0.00529919$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.00529919 a = 0.35255742$ par $0.00529919$ .

$\frac{0.00529919 a}{0.00529919} = \frac{0.35255742}{0.00529919}$

Étape 19.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.00529919$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.00529919 a}{0.00529919} = \frac{0.35255742}{0.00529919}$

Étape 19.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{0.35255742}{0.00529919}$

Étape 19.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.2.3.1

Divisez $0.35255742$ par $0.00529919$ .

$a = 66.53040335$

Étape 20

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

Combinaison du premier triangle :

$A = 95.3561814$

$B = 32$

$C = 52.64381859$

$a = 50 \sqrt{13 - 12 \cos (95.3561814)}$

$b = 100$

$c = 150$

Combinaison du deuxième triangle :

$A = 20.64381859$

$B = 32$

$C = 127.3561814$

$a = 66.53040335$

$b = 100$

$c = 150$