Trigonométrie Exemples

$B = 30$ , $a = 80$ , $c = 70$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$b = \sqrt{{(80)}^{2} + {(70)}^{2} - 2 \cdot 80 \cdot 70 \cos (30)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $80$ à la puissance $2$ .

$b = \sqrt{6400 + {(70)}^{2} - 2 \cdot 80 \cdot (70 \cos (30))}$

Étape 4.2

Élevez $70$ à la puissance $2$ .

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 2 \cdot 80 \cdot (70 \cos (30))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 80 \cdot 70$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $80$ .

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 160 \cdot (70 \cos (30))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 160$ par $70$ .

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 11200 \cos (30)}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 11200 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 11200$ .

$b = \sqrt{6400 + 4900 + 2 (- 5600) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$b = \sqrt{6400 + 4900 + 2 \cdot (- 5600 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 5600 \sqrt{3}}$

Étape 4.6

Additionnez $6400$ et $4900$ .

$b = \sqrt{11300 - 5600 \sqrt{3}}$

Étape 4.7

Réécrivez $11300 - 5600 \sqrt{3}$ comme $10^{2} (113 - 56 \sqrt{3})$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $100$ à partir de $11300$ .

$b = \sqrt{100 (113) - 5600 \sqrt{3}}$

Étape 4.7.2

Factorisez $100$ à partir de $- 5600 \sqrt{3}$ .

$b = \sqrt{100 (113) + 100 (- 56 \sqrt{3})}$

Étape 4.7.3

Factorisez $100$ à partir de $100 (113) + 100 (- 56 \sqrt{3})$ .

$b = \sqrt{100 (113 - 56 \sqrt{3})}$

Étape 4.7.4

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$b = \sqrt{10^{2} (113 - 56 \sqrt{3})}$

Étape 4.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$b = 10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{80} = \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $80$ .

$80 \frac{\sin (A)}{80} = 80 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $80$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$80 \frac{\sin (A)}{80} = 80 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 80 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $80 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1

Factorisez $10$ à partir de $80$ .

$\sin (A) = 10 (8) \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.1.2

Factorisez $10$ à partir de $10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 10 (8) \frac{\sin (30)}{10 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

Étape 7.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (A) = 10 \cdot 8 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.2

Associez $8$ et $\frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{8 \sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = \frac{8 (\frac{1}{2})}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.4

Associez $8$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = \frac{\frac{8}{2}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.5

Divisez $8$ par $2$ .

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}})$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}})$ .

$A = 88.97169744$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 88.97169744$

Étape 7.6

Soustrayez $88.97169744$ de $180$ .

$A = 91.02830255$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $A = 88.97169744$ .

$A = 88.97169744, 91.02830255$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$88.97169744 + C + 30 = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 9.1

Additionnez $88.97169744$ et $30$ .

$C + 118.97169744 = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $118.97169744$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 118.97169744$

Étape 9.2.2

Soustrayez $118.97169744$ de $180$ .

$C = 61.02830255$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 88.97169744$

$B = 30$

$C = 61.02830255$

$a = 80$

$b = 10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

$c = 70$