Trigonométrie Exemples

$b = 25$ , $c = 30$ , $B = 25$

Étape 1

La loi des sinus produit un résultat d’angle ambigu. Cela signifie qu’il y a $2$ permettant de résoudre correctement l’équation. Pour le premier triangle, utilisez la première valeur d’angle possible.

Résolvez pour le premier triangle.

Étape 2

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{30} = \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $30$ .

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $30 \frac{\sin (25)}{25}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$\sin (C) = 5 (6) \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Étape 4.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Étape 4.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 6 \frac{\sin (25)}{5}$

Étape 4.2.2.1.2

Associez $6$ et $\frac{\sin (25)}{5}$ .

$\sin (C) = \frac{6 \sin (25)}{5}$

Étape 4.2.2.1.3

Évaluez $\sin (25)$ .

$\sin (C) = \frac{6 \cdot 0.42261826}{5}$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $6$ par $0.42261826$ .

$\sin (C) = \frac{2.53570957}{5}$

Étape 4.2.2.1.5

Divisez $2.53570957$ par $5$ .

$\sin (C) = 0.50714191$

Étape 4.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (0.50714191)$

Étape 4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.1

Évaluez $\arcsin (0.50714191)$ .

$C = 30.47364089$

Étape 4.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$C = 180 - 30.47364089$

Étape 4.6

Soustrayez $30.47364089$ de $180$ .

$C = 149.5263591$

Étape 4.7

La solution de l’équation est $C = 30.47364089$ .

$C = 30.47364089, 149.5263591$

Étape 5

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 30.47364089 + 25 = 180$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 6.1

Additionnez $30.47364089$ et $25$ .

$A + 55.47364089 = 180$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $55.47364089$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 55.47364089$

Étape 6.2.2

Soustrayez $55.47364089$ de $180$ .

$A = 124.5263591$

Étape 7

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 8

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 9

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(25)}^{2} + {(30)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot 30 \cos (124.5263591)}$

Étape 10

Simplifiez les résultats.

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Étape 10.1

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{625 + {(30)}^{2} - 2 \cdot 25 \cdot (30 \cos (124.5263591))}$

Étape 10.2

Élevez $30$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{625 + 900 - 2 \cdot 25 \cdot (30 \cos (124.5263591))}$

Étape 10.3

Multipliez $- 2 \cdot 25 \cdot 30$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$a = \sqrt{625 + 900 - 50 \cdot (30 \cos (124.5263591))}$

Étape 10.3.2

Multipliez $- 50$ par $30$ .

$a = \sqrt{625 + 900 - 1500 \cos (124.5263591)}$

Étape 10.4

Additionnez $625$ et $900$ .

$a = \sqrt{1525 - 1500 \cos (124.5263591)}$

Étape 10.5

Réécrivez $1525 - 1500 \cos (124.5263591)$ comme $5^{2} (61 - 60 \cos (124.5263591))$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $25$ à partir de $1525$ .

$a = \sqrt{25 (61) - 1500 \cos (124.5263591)}$

Étape 10.5.2

Factorisez $25$ à partir de $- 1500 \cos (124.5263591)$ .

$a = \sqrt{25 (61) + 25 (- 60 \cos (124.5263591))}$

Étape 10.5.3

Factorisez $25$ à partir de $25 (61) + 25 (- 60 \cos (124.5263591))$ .

$a = \sqrt{25 (61 - 60 \cos (124.5263591))}$

Étape 10.5.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2} (61 - 60 \cos (124.5263591))}$

Étape 10.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = 5 \sqrt{61 - 60 \cos (124.5263591)}$

Étape 11

Pour le deuxième triangle, utilisez la deuxième valeur d’angle possible.

Résolvez pour le deuxième triangle.

Étape 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 13

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{30} = \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 14

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 14.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $30$ .

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 14.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 14.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 14.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$30 \frac{\sin (C)}{30} = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 14.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 30 \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Simplifiez $30 \frac{\sin (25)}{25}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$\sin (C) = 5 (6) \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 14.2.2.1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Étape 14.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 5 \cdot 6 \frac{\sin (25)}{5 \cdot 5}$

Étape 14.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 6 \frac{\sin (25)}{5}$

Étape 14.2.2.1.2

Associez $6$ et $\frac{\sin (25)}{5}$ .

$\sin (C) = \frac{6 \sin (25)}{5}$

Étape 14.2.2.1.3

Évaluez $\sin (25)$ .

$\sin (C) = \frac{6 \cdot 0.42261826}{5}$

Étape 14.2.2.1.4

Multipliez $6$ par $0.42261826$ .

$\sin (C) = \frac{2.53570957}{5}$

Étape 14.2.2.1.5

Divisez $2.53570957$ par $5$ .

$\sin (C) = 0.50714191$

Étape 14.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (0.50714191)$

Étape 14.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.4.1

Évaluez $\arcsin (0.50714191)$ .

$C = 30.47364089$

Étape 14.5

$C = 180 - 30.47364089$

Étape 14.6

Soustrayez $30.47364089$ de $180$ .

$C = 149.5263591$

Étape 14.7

La solution de l’équation est $C = 30.47364089$ .

$C = 30.47364089, 149.5263591$

Étape 15

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 149.5263591 + 25 = 180$

Étape 16

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 16.1

Additionnez $149.5263591$ et $25$ .

$A + 174.5263591 = 180$

Étape 16.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Soustrayez $174.5263591$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 174.5263591$

Étape 16.2.2

Soustrayez $174.5263591$ de $180$ .

$A = 5.47364089$

Étape 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 18

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (5.47364089)}{a} = \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 19

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 19.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Évaluez $\sin (5.47364089)$ .

$\frac{0.0953878}{a} = \frac{\sin (25)}{25}$

Étape 19.1.2

Évaluez $\sin (25)$ .

$\frac{0.0953878}{a} = \frac{0.42261826}{25}$

Étape 19.1.3

Divisez $0.42261826$ par $25$ .

$\frac{0.0953878}{a} = 0.01690473$

Étape 19.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 19.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a, 1$

Étape 19.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$a$

Étape 19.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.0953878}{a} = 0.01690473$ par $a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 19.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.0953878}{a} = 0.01690473$ par $a$ .

$\frac{0.0953878}{a} a = 0.01690473 a$

Étape 19.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.0953878}{a} a = 0.01690473 a$

Étape 19.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.0953878 = 0.01690473 a$

Étape 19.4

Résolvez l’équation.

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Étape 19.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.01690473 a = 0.0953878$ .

$0.01690473 a = 0.0953878$

Étape 19.4.2

Divisez chaque terme dans $0.01690473 a = 0.0953878$ par $0.01690473$ et simplifiez.

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Étape 19.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.01690473 a = 0.0953878$ par $0.01690473$ .

$\frac{0.01690473 a}{0.01690473} = \frac{0.0953878}{0.01690473}$

Étape 19.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.01690473$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.01690473 a}{0.01690473} = \frac{0.0953878}{0.01690473}$

Étape 19.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{0.0953878}{0.01690473}$

Étape 19.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.2.3.1

Divisez $0.0953878$ par $0.01690473$ .

$a = 5.64266951$

Étape 20

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

Combinaison du premier triangle :

$A = 124.5263591$

$B = 25$

$C = 30.47364089$

$a = 5 \sqrt{61 - 60 \cos (124.5263591)}$

$b = 25$

$c = 30$

Combinaison du deuxième triangle :

$A = 5.47364089$

$B = 25$

$C = 149.5263591$

$a = 5.64266951$

$b = 25$

$c = 30$