Trigonométrie Exemples

$b = 17$ , $c = 22$ , $B = 30$

Étape 1

La loi des sinus produit un résultat d’angle ambigu. Cela signifie qu’il y a $2$ permettant de résoudre correctement l’équation. Pour le premier triangle, utilisez la première valeur d’angle possible.

Résolvez pour le premier triangle.

Étape 2

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{22} = \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $22$ .

$22 \frac{\sin (C)}{22} = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $22$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$22 \frac{\sin (C)}{22} = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez $22 \frac{\sin (30)}{17}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 22 \frac{\frac{1}{2}}{17}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (C) = 22 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17})$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17}$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{17}$ .

$\sin (C) = 22 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $17$ .

$\sin (C) = 22 (\frac{1}{34})$

Étape 4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$\sin (C) = 2 (11) \frac{1}{34}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 11 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Étape 4.2.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 2 \cdot 11 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Étape 4.2.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 11 (\frac{1}{17})$

Étape 4.2.2.1.5

Associez $11$ et $\frac{1}{17}$ .

$\sin (C) = \frac{11}{17}$

Étape 4.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (\frac{11}{17})$

Étape 4.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{11}{17})$ .

$C = 40.32021506$

Étape 4.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$C = 180 - 40.32021506$

Étape 4.6

Soustrayez $40.32021506$ de $180$ .

$C = 139.67978493$

Étape 4.7

La solution de l’équation est $C = 40.32021506$ .

$C = 40.32021506, 139.67978493$

Étape 5

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 40.32021506 + 30 = 180$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 6.1

Additionnez $40.32021506$ et $30$ .

$A + 70.32021506 = 180$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $70.32021506$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 70.32021506$

Étape 6.2.2

Soustrayez $70.32021506$ de $180$ .

$A = 109.67978493$

Étape 7

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 8

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 9

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(17)}^{2} + {(22)}^{2} - 2 \cdot 17 \cdot 22 \cos (109.67978493)}$

Étape 10

Simplifiez les résultats.

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Étape 10.1

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{289 + {(22)}^{2} - 2 \cdot 17 \cdot (22 \cos (109.67978493))}$

Étape 10.2

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{289 + 484 - 2 \cdot 17 \cdot (22 \cos (109.67978493))}$

Étape 10.3

Multipliez $- 2 \cdot 17 \cdot 22$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $- 2$ par $17$ .

$a = \sqrt{289 + 484 - 34 \cdot (22 \cos (109.67978493))}$

Étape 10.3.2

Multipliez $- 34$ par $22$ .

$a = \sqrt{289 + 484 - 748 \cos (109.67978493)}$

Étape 10.4

Additionnez $289$ et $484$ .

$a = \sqrt{773 - 748 \cos (109.67978493)}$

Étape 11

Pour le deuxième triangle, utilisez la deuxième valeur d’angle possible.

Résolvez pour le deuxième triangle.

Étape 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 13

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{22} = \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 14

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 14.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $22$ .

$22 \frac{\sin (C)}{22} = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 14.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 14.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun de $22$ .

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Étape 14.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$22 \frac{\sin (C)}{22} = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 14.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 22 \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez $22 \frac{\sin (30)}{17}$ .

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Étape 14.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 22 \frac{\frac{1}{2}}{17}$

Étape 14.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (C) = 22 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17})$

Étape 14.2.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17}$ .

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Étape 14.2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{17}$ .

$\sin (C) = 22 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Étape 14.2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $17$ .

$\sin (C) = 22 (\frac{1}{34})$

Étape 14.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$\sin (C) = 2 (11) \frac{1}{34}$

Étape 14.2.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 11 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Étape 14.2.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 2 \cdot 11 \frac{1}{2 \cdot 17}$

Étape 14.2.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 11 (\frac{1}{17})$

Étape 14.2.2.1.5

Associez $11$ et $\frac{1}{17}$ .

$\sin (C) = \frac{11}{17}$

Étape 14.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (\frac{11}{17})$

Étape 14.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{11}{17})$ .

$C = 40.32021506$

Étape 14.5

$C = 180 - 40.32021506$

Étape 14.6

Soustrayez $40.32021506$ de $180$ .

$C = 139.67978493$

Étape 14.7

La solution de l’équation est $C = 40.32021506$ .

$C = 40.32021506, 139.67978493$

Étape 15

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 139.67978493 + 30 = 180$

Étape 16

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 16.1

Additionnez $139.67978493$ et $30$ .

$A + 169.67978493 = 180$

Étape 16.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 16.2.1

Soustrayez $169.67978493$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 169.67978493$

Étape 16.2.2

Soustrayez $169.67978493$ de $180$ .

$A = 10.32021506$

Étape 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 18

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (10.32021506)}{a} = \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 19

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 19.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Évaluez $\sin (10.32021506)$ .

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{\sin (30)}{17}$

Étape 19.1.2

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{17}$

Étape 19.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17}$

Étape 19.1.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{17}$ .

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Étape 19.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{17}$ .

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{2 \cdot 17}$

Étape 19.1.4.2

Multipliez $2$ par $17$ .

$\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{34}$

Étape 19.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 19.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a, 34$

Étape 19.2.2

Since $a, 34$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 34$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Étape 19.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 19.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 19.2.5

$34$ a des facteurs de $2$ et $17$ .

$2 \cdot 17$

Étape 19.2.6

Multipliez $2$ par $17$ .

$34$

Étape 19.2.7

Le facteur pour $a^{1}$ est $a$ lui-même.

$a^{1} = a$

$a$ se produit $1$ fois.

Étape 19.2.8

Le plus petit multiple commun de $a^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$a$

Étape 19.2.9

Le plus petit multiple commun pour $a, 34$ est la partie numérique $34$ multipliée par la partie variable.

$34 a$

Étape 19.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{34}$ par $34 a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 19.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.17914933}{a} = \frac{1}{34}$ par $34 a$ .

$\frac{0.17914933}{a} (34 a) = \frac{1}{34} (34 a)$

Étape 19.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 19.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$34 \frac{0.17914933}{a} a = \frac{1}{34} (34 a)$

Étape 19.3.2.2

Multipliez $34 \frac{0.17914933}{a}$ .

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Étape 19.3.2.2.1

Associez $34$ et $\frac{0.17914933}{a}$ .

$\frac{34 \cdot 0.17914933}{a} a = \frac{1}{34} (34 a)$

Étape 19.3.2.2.2

Multipliez $34$ par $0.17914933$ .

$\frac{6.09107748}{a} a = \frac{1}{34} (34 a)$

Étape 19.3.2.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 19.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6.09107748}{a} a = \frac{1}{34} (34 a)$

Étape 19.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$6.09107748 = \frac{1}{34} (34 a)$

Étape 19.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.3.1

Annulez le facteur commun de $34$ .

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Étape 19.3.3.1.1

Factorisez $34$ à partir de $34 a$ .

$6.09107748 = \frac{1}{34} (34 (a))$

Étape 19.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$6.09107748 = \frac{1}{34} (34 a)$

Étape 19.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$6.09107748 = a$

Étape 19.4

Réécrivez l’équation comme $a = 6.09107748$ .

$a = 6.09107748$

Étape 20

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

Combinaison du premier triangle :

$A = 109.67978493$

$B = 30$

$C = 40.32021506$

$a = \sqrt{773 - 748 \cos (109.67978493)}$

$b = 17$

$c = 22$

Combinaison du deuxième triangle :

$A = 10.32021506$

$B = 30$

$C = 139.67978493$

$a = 6.09107748$

$b = 17$

$c = 22$