Trigonométrie Exemples

$B = 5$ , $c = 125$ , $b = 200$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{125} = \frac{\sin (5)}{200}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $125$ .

$125 \frac{\sin (C)}{125} = 125 \frac{\sin (5)}{200}$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$125 \frac{\sin (C)}{125} = 125 \frac{\sin (5)}{200}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 125 \frac{\sin (5)}{200}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $125 \frac{\sin (5)}{200}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\sin (C) = 25 (5) \frac{\sin (5)}{200}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Factorisez $25$ à partir de $200$ .

$\sin (C) = 25 \cdot 5 \frac{\sin (5)}{25 \cdot 8}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 25 \cdot 5 \frac{\sin (5)}{25 \cdot 8}$

Étape 3.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (5)}{8}$

Étape 3.2.2.1.2

Associez $5$ et $\frac{\sin (5)}{8}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (5)}{8}$

Étape 3.2.2.1.3

Évaluez $\sin (5)$ .

$\sin (C) = \frac{5 \cdot 0.08715574}{8}$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $5$ par $0.08715574$ .

$\sin (C) = \frac{0.43577871}{8}$

Étape 3.2.2.1.5

Divisez $0.43577871$ par $8$ .

$\sin (C) = 0.05447233$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (0.05447233)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (0.05447233)$ .

$C = 3.12258067$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$C = 180 - 3.12258067$

Étape 3.6

Soustrayez $3.12258067$ de $180$ .

$C = 176.87741932$

Étape 3.7

La solution de l’équation est $C = 3.12258067$ .

$C = 3.12258067, 176.87741932$

Étape 3.8

Excluez l’angle non valide.

$C = 3.12258067$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 3.12258067 + 5 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 5.1

Additionnez $3.12258067$ et $5$ .

$A + 8.12258067 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $8.12258067$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 8.12258067$

Étape 5.2.2

Soustrayez $8.12258067$ de $180$ .

$A = 171.87741932$

Étape 6

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 7

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 8

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(200)}^{2} + {(125)}^{2} - 2 \cdot 200 \cdot 125 \cos (171.87741932)}$

Étape 9

Simplifiez les résultats.

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Étape 9.1

Élevez $200$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{40000 + {(125)}^{2} - 2 \cdot 200 \cdot (125 \cos (171.87741932))}$

Étape 9.2

Élevez $125$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{40000 + 15625 - 2 \cdot 200 \cdot (125 \cos (171.87741932))}$

Étape 9.3

Multipliez $- 2 \cdot 200 \cdot 125$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 2$ par $200$ .

$a = \sqrt{40000 + 15625 - 400 \cdot (125 \cos (171.87741932))}$

Étape 9.3.2

Multipliez $- 400$ par $125$ .

$a = \sqrt{40000 + 15625 - 50000 \cos (171.87741932)}$

Étape 9.4

Additionnez $40000$ et $15625$ .

$a = \sqrt{55625 - 50000 \cos (171.87741932)}$

Étape 9.5

Réécrivez $55625 - 50000 \cos (171.87741932)$ comme $25^{2} (89 - 80 \cos (171.87741932))$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $625$ à partir de $55625$ .

$a = \sqrt{625 (89) - 50000 \cos (171.87741932)}$

Étape 9.5.2

Factorisez $625$ à partir de $- 50000 \cos (171.87741932)$ .

$a = \sqrt{625 (89) + 625 (- 80 \cos (171.87741932))}$

Étape 9.5.3

Factorisez $625$ à partir de $625 (89) + 625 (- 80 \cos (171.87741932))$ .

$a = \sqrt{625 (89 - 80 \cos (171.87741932))}$

Étape 9.5.4

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$a = \sqrt{25^{2} (89 - 80 \cos (171.87741932))}$

Étape 9.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = 25 \sqrt{89 - 80 \cos (171.87741932)}$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 171.87741932$

$B = 5$

$C = 3.12258067$

$a = 25 \sqrt{89 - 80 \cos (171.87741932)}$

$b = 200$

$c = 125$