Trigonométrie Exemples

$C = 30$ , $A = 89$ , $b = 7$

Étape 1

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$89 + 30 + B = 180$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 2.1

Additionnez $89$ et $30$ .

$119 + B = 180$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $119$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 119$

Étape 2.2.2

Soustrayez $119$ de $180$ .

$B = 61$

Étape 3

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (89)}{a} = \frac{\sin (61)}{7}$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 5.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Évaluez $\sin (89)$ .

$\frac{0.99984769}{a} = \frac{\sin (61)}{7}$

Étape 5.1.2

Évaluez $\sin (61)$ .

$\frac{0.99984769}{a} = \frac{0.8746197}{7}$

Étape 5.1.3

Divisez $0.8746197$ par $7$ .

$\frac{0.99984769}{a} = 0.12494567$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$a$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.99984769}{a} = 0.12494567$ par $a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.99984769}{a} = 0.12494567$ par $a$ .

$\frac{0.99984769}{a} a = 0.12494567 a$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.99984769}{a} a = 0.12494567 a$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.99984769 = 0.12494567 a$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.12494567 a = 0.99984769$ .

$0.12494567 a = 0.99984769$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $0.12494567 a = 0.99984769$ par $0.12494567$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.12494567 a = 0.99984769$ par $0.12494567$ .

$\frac{0.12494567 a}{0.12494567} = \frac{0.99984769}{0.12494567}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.12494567$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.12494567 a}{0.12494567} = \frac{0.99984769}{0.12494567}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{0.99984769}{0.12494567}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

Divisez $0.99984769$ par $0.12494567$ .

$a = 8.0022595$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (30)}{c} = \frac{\sin (89)}{8.0022595}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $c$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{c} = \frac{\sin (89)}{8.0022595}$

Étape 8.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{\sin (89)}{8.0022595}$

Étape 8.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{c}$ .

$\frac{1}{2 c} = \frac{\sin (89)}{8.0022595}$

Étape 8.1.4

Évaluez $\sin (89)$ .

$\frac{1}{2 c} = \frac{0.99984769}{8.0022595}$

Étape 8.1.5

Divisez $0.99984769$ par $8.0022595$ .

$\frac{1}{2 c} = 0.12494567$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 c, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 c$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2 c} = 0.12494567$ par $2 c$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2 c} = 0.12494567$ par $2 c$ .

$\frac{1}{2 c} (2 c) = 0.12494567 (2 c)$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{2 c} c = 0.12494567 (2 c)$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 c$ .

$2 \frac{1}{2 (c)} c = 0.12494567 (2 c)$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 c} c = 0.12494567 (2 c)$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{c} c = 0.12494567 (2 c)$

Étape 8.3.2.3

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 8.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{c} c = 0.12494567 (2 c)$

Étape 8.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 0.12494567 (2 c)$

Étape 8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $2$ par $0.12494567$ .

$1 = 0.24989134 c$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.24989134 c = 1$ .

$0.24989134 c = 1$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.24989134 c = 1$ par $0.24989134$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.24989134 c = 1$ par $0.24989134$ .

$\frac{0.24989134 c}{0.24989134} = \frac{1}{0.24989134}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.24989134$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.24989134 c}{0.24989134} = \frac{1}{0.24989134}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{1}{0.24989134}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.3.1

Divisez $1$ par $0.24989134$ .

$c = 4.00173923$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 89$

$B = 61$

$C = 30$

$a = 8.0022595$

$b = 7$

$c = 4.00173923$