Trigonométrie Exemples

$c = 26$ , $b = 53$ , $B = 105$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (105)}{53}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $26$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $26 \frac{\sin (105)}{53}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (105)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (75)}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30 + 45)}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.8

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{53}$

Étape 3.2.2.1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{53}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (C) = 26 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53})$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53}$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ par $\frac{1}{53}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 53}$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $53$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Étape 3.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $26$ .

$\sin (C) = 2 (13) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $212$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Étape 3.2.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Étape 3.2.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$

Étape 3.2.2.1.5

Associez $13$ et $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$ .

$\sin (C) = \frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$ .

$C = 28.28452639$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$C = 180 - 28.28452639$

Étape 3.6

Soustrayez $28.28452639$ de $180$ .

$C = 151.7154736$

Étape 3.7

La solution de l’équation est $C = 28.28452639$ .

$C = 28.28452639, 151.7154736$

Étape 3.8

Excluez l’angle non valide.

$C = 28.28452639$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 28.28452639 + 105 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 5.1

Additionnez $28.28452639$ et $105$ .

$A + 133.28452639 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $133.28452639$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 133.28452639$

Étape 5.2.2

Soustrayez $133.28452639$ de $180$ .

$A = 46.7154736$

Étape 6

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 7

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 8

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(53)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot 26 \cos (46.7154736)}$

Étape 9

Simplifiez les résultats.

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Étape 9.1

Élevez $53$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{2809 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Étape 9.2

Élevez $26$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Étape 9.3

Multipliez $- 2 \cdot 53 \cdot 26$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 2$ par $53$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 106 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Étape 9.3.2

Multipliez $- 106$ par $26$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Étape 9.4

Additionnez $2809$ et $676$ .

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 46.7154736$

$B = 105$

$C = 28.28452639$

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

$b = 53$

$c = 26$