Trigonométrie Exemples

$c = 26$ , $a = 52$ , $A = 127$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (127)}{52}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (127)}{52}$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $26$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (127)}{52}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (127)}{52}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $26 \frac{\sin (127)}{52}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $26$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Factorisez $26$ à partir de $52$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (127)}{26 (2)}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (127)}{26 \cdot 2}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = \frac{\sin (127)}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Évaluez $\sin (127)$ .

$\sin (C) = \frac{0.79863551}{2}$

Étape 3.2.2.1.3

Divisez $0.79863551$ par $2$ .

$\sin (C) = 0.39931775$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (0.39931775)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (0.39931775)$ .

$C = 23.53553497$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$C = 180 - 23.53553497$

Étape 3.6

Soustrayez $23.53553497$ de $180$ .

$C = 156.46446502$

Étape 3.7

La solution de l’équation est $C = 23.53553497$ .

$C = 23.53553497, 156.46446502$

Étape 3.8

Excluez l’angle non valide.

$C = 23.53553497$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$127 + 23.53553497 + B = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 5.1

Additionnez $127$ et $23.53553497$ .

$150.53553497 + B = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $150.53553497$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 150.53553497$

Étape 5.2.2

Soustrayez $150.53553497$ de $180$ .

$B = 29.46446502$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $b$ .

$\frac{\sin (29.46446502)}{b} = \frac{\sin (127)}{52}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $b$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (29.46446502)$ .

$\frac{0.49188366}{b} = \frac{\sin (127)}{52}$

Étape 8.1.2

Évaluez $\sin (127)$ .

$\frac{0.49188366}{b} = \frac{0.79863551}{52}$

Étape 8.1.3

Divisez $0.79863551$ par $52$ .

$\frac{0.49188366}{b} = 0.01535837$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$b, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$b$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.49188366}{b} = 0.01535837$ par $b$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.49188366}{b} = 0.01535837$ par $b$ .

$\frac{0.49188366}{b} b = 0.01535837 b$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.49188366}{b} b = 0.01535837 b$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.49188366 = 0.01535837 b$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

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Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.01535837 b = 0.49188366$ .

$0.01535837 b = 0.49188366$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.01535837 b = 0.49188366$ par $0.01535837$ et simplifiez.

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Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.01535837 b = 0.49188366$ par $0.01535837$ .

$\frac{0.01535837 b}{0.01535837} = \frac{0.49188366}{0.01535837}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.01535837$ .

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Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.01535837 b}{0.01535837} = \frac{0.49188366}{0.01535837}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{0.49188366}{0.01535837}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.49188366$ par $0.01535837$ .

$b = 32.02706422$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 127$

$B = 29.46446502$

$C = 23.53553497$

$a = 52$

$b = 32.02706422$

$c = 26$