Trigonométrie Exemples

$C = 41$ , $B = 105$ , $b = 12.6$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (41)}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $c$ .

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Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Évaluez $\sin (41)$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Étape 3.1.2

La valeur exacte de $\sin (105)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 3.1.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

Étape 3.1.2.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Étape 3.1.2.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Étape 3.1.2.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Étape 3.1.2.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

Étape 3.1.2.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Étape 3.1.2.8

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Étape 3.1.2.8.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Étape 3.1.2.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Étape 3.1.2.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Étape 3.1.2.8.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Étape 3.1.2.8.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Étape 3.1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Étape 3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

Étape 3.1.4

Divisez $1$ par $12.6$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

Étape 3.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ .

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Étape 3.1.5.1

Associez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ par $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{0.30664311}{4}$

Étape 3.1.6

Divisez $0.30664311$ par $4$ .

$\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$c, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$c$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ par $c$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ par $c$ .

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.65605902 = 0.07666077 c$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.07666077 c = 0.65605902$ .

$0.07666077 c = 0.65605902$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $0.07666077 c = 0.65605902$ par $0.07666077$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.07666077 c = 0.65605902$ par $0.07666077$ .

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.07666077$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Divisez $0.65605902$ par $0.07666077$ .

$c = 8.55794879$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 41 + 105 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 5.1

Additionnez $41$ et $105$ .

$A + 146 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $146$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 146$

Étape 5.2.2

Soustrayez $146$ de $180$ .

$A = 34$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (34)}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (34)$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

Étape 8.1.2

La valeur exacte de $\sin (105)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

Étape 8.1.2.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

Étape 8.1.2.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Étape 8.1.2.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Étape 8.1.2.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

Étape 8.1.2.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

Étape 8.1.2.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Étape 8.1.2.8

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Étape 8.1.2.8.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

Étape 8.1.2.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Étape 8.1.2.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Étape 8.1.2.8.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

Étape 8.1.2.8.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Étape 8.1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

Étape 8.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

Étape 8.1.4

Divisez $1$ par $12.6$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ .

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Étape 8.1.5.1

Associez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ par $0.\overline{079365}$ .

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{0.30664311}{4}$

Étape 8.1.6

Divisez $0.30664311$ par $4$ .

$\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$a$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ par $a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ par $a$ .

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.5591929 = 0.07666077 a$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.07666077 a = 0.5591929$ .

$0.07666077 a = 0.5591929$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.07666077 a = 0.5591929$ par $0.07666077$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.07666077 a = 0.5591929$ par $0.07666077$ .

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.07666077$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.5591929$ par $0.07666077$ .

$a = 7.29438057$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 34$

$B = 105$

$C = 41$

$a = 7.29438057$

$b = 12.6$

$c = 8.55794879$