Trigonométrie Exemples

$A = 23$ , $b = 7$ , $c = 6$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(7)}^{2} + {(6)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cos (23)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{49 + {(6)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot (6 \cos (23))}$

Étape 4.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{49 + 36 - 2 \cdot 7 \cdot (6 \cos (23))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 7 \cdot 6$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$a = \sqrt{49 + 36 - 14 \cdot (6 \cos (23))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 14$ par $6$ .

$a = \sqrt{49 + 36 - 84 \cos (23)}$

Étape 4.4

Évaluez $\cos (23)$ .

$a = \sqrt{49 + 36 - 84 \cdot 0.92050485}$

Étape 4.5

Multipliez $- 84$ par $0.92050485$ .

$a = \sqrt{49 + 36 - 77.32240769}$

Étape 4.6

Additionnez $49$ et $36$ .

$a = \sqrt{85 - 77.32240769}$

Étape 4.7

Soustrayez $77.32240769$ de $85$ .

$a = \sqrt{7.6775923}$

Étape 4.8

Évaluez la racine.

$a = 2.77084685$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{7} = \frac{\sin (23)}{2.77084685}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (23)}{2.77084685}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (23)}{2.77084685}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (23)}{2.77084685}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $7 \frac{\sin (23)}{2.77084685}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Évaluez $\sin (23)$ .

$\sin (B) = 7 (\frac{0.39073112}{2.77084685})$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $0.39073112$ par $2.77084685$ .

$\sin (B) = 7 \cdot 0.14101505$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $7$ par $0.14101505$ .

$\sin (B) = 0.9871054$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $B$ de l’intérieur du sinus.

$B = \arcsin (0.9871054)$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (0.9871054)$ .

$B = 80.78894607$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$B = 180 - 80.78894607$

Étape 7.6

Soustrayez $80.78894607$ de $180$ .

$B = 99.21105392$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $B = 80.78894607$ .

$B = 80.78894607, 99.21105392$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$23 + C + 80.78894607 = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 9.1

Additionnez $23$ et $80.78894607$ .

$C + 103.78894607 = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $103.78894607$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 103.78894607$

Étape 9.2.2

Soustrayez $103.78894607$ de $180$ .

$C = 76.21105392$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 23$

$B = 80.78894607$

$C = 76.21105392$

$a = 2.77084685$

$b = 7$

$c = 6$