Trigonométrie Exemples

$\frac{e^{- \frac{π}{3} \cdot i}}{{(- \sqrt{3} + i)}^{5}}$

Étape 1

Associez $i$ et $\frac{π}{3}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{{(- \sqrt{3} + i)}^{5}}$

Étape 2

Simplifiez ${(- \sqrt{3} + i)}^{5}$ .

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Étape 2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{{(- \sqrt{3})}^{5} + 5 {(- \sqrt{3})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{{(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5} + 5 {(- \sqrt{3})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- {\sqrt{3}}^{5} + 5 {(- \sqrt{3})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{5}$ comme $\sqrt{3^{5}}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- \sqrt{3^{5}} + 5 {(- \sqrt{3})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- \sqrt{243} + 5 {(- \sqrt{3})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.5

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.2.5.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- \sqrt{81 (3)} + 5 {(- \sqrt{3})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- \sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {(- \sqrt{3})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- (9 \sqrt{3}) + 5 {(- \sqrt{3})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.7

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 {(- \sqrt{3})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.8

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.9

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 (1 {\sqrt{3}}^{4}) i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.10

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.11

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.2.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.11.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.2.11.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.11.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.11.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.11.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.11.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.11.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.13

Multipliez $5$ par $9$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {(- \sqrt{3})}^{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.14

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (- {\sqrt{3}}^{3}) i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.16

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (- \sqrt{3^{3}}) i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.17

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (- \sqrt{27}) i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.18

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.2.18.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (- \sqrt{9 (3)}) i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.18.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.19

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (- (3 \sqrt{3})) i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.20

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (- 3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.21

Multipliez $- 3$ par $10$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.22

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.23

Multipliez $- 1$ par $- 30$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 {(- \sqrt{3})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.24

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.25

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 (1 {\sqrt{3}}^{2}) i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.26

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.27

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.27.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.27.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.27.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.27.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.27.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.27.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.27.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.28

Multipliez $10$ par $3$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.29

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.30

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.31

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.32

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 (- \sqrt{3}) i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.33

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}}$

Étape 2.2.34

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.2.34.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}}$

Étape 2.2.34.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}}$

Étape 2.2.34.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}}$

Étape 2.2.35

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} + i^{5}}$

Étape 2.2.36

Factorisez $i^{4}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} + i^{4} i}$

Étape 2.2.37

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.2.37.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i}$

Étape 2.2.37.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i}$

Étape 2.2.37.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} + 1 i}$

Étape 2.2.38

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{- 9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} + i}$

Étape 2.3

Additionnez $- 9 \sqrt{3}$ et $30 \sqrt{3}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{45 i + 21 \sqrt{3} - 30 i - 5 \sqrt{3} + i}$

Étape 2.4

Soustrayez $30 i$ de $45 i$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{15 i + 21 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + i}$

Étape 2.5

Additionnez $15 i$ et $i$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{16 i + 21 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}$

Étape 2.6

Soustrayez $5 \sqrt{3}$ de $21 \sqrt{3}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{16 i + 16 \sqrt{3}}$

Étape 2.7

Remettez dans l’ordre $16 i$ et $16 \sqrt{3}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{16 \sqrt{3} + 16 i}$

Étape 3

Factorisez $16$ à partir de $16 \sqrt{3} + 16 i$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{16 (\sqrt{3} + i)}$

Étape 4

Multipliez $\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{16 (\sqrt{3} + i)}$ par $\frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{16 (\sqrt{3} + i)} \cdot \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i}$

Étape 5

Multipliez $\frac{e^{- \frac{i π}{3}}}{16 (\sqrt{3} + i)}$ par $\frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i}$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}} (\sqrt{3} - i)}{16 (\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} - i)}$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Déplacez $\sqrt{3} + i$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}} (\sqrt{3} - i)}{16 ((\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} - i))}$

Étape 6.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}} (\sqrt{3} - i)}{16 ({\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} (- i) + i \sqrt{3} - i^{2})}$

Étape 6.3

Simplifiez

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}} (\sqrt{3} - i)}{16 \cdot 4}$

Étape 6.4

Multipliez $16$ par $4$ .

$\frac{e^{- \frac{i π}{3}} (\sqrt{3} - i)}{64}$