Trigonométrie Exemples

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = 2$

Étape 1

Remplacez $f (x)$ par $2$ .

$2 = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sin (x) + \cos (2 x) = 2$ .

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = 2$

Étape 2.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 2$

Étape 2.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 2 - 1$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 1$

Étape 2.5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.5.1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = 1$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 u - 2 u^{2} - 1 = 0$

Étape 2.5.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.4

Remplacez les valeurs $a = - 2$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5

Simplifiez

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Étape 2.5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

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Étape 2.5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.1.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

Étape 2.5.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ .

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

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Étape 2.5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.1.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

Étape 2.5.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ .

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

Étape 2.5.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{1 + i}{2}$

Étape 2.5.6.5

Divisez la fraction $\frac{1 + i}{2}$ en deux fractions.

$u = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Étape 2.5.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

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Étape 2.5.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.1.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.5.7.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

Étape 2.5.7.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ .

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

Étape 2.5.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{1 - i}{2}$

Étape 2.5.7.5

Divisez la fraction $\frac{1 - i}{2}$ en deux fractions.

$u = \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

Étape 2.5.7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Étape 2.5.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Étape 2.5.9

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Étape 2.5.10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

$\sin (x) = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Étape 2.5.11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ .

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Étape 2.5.11.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Étape 2.5.11.2

Le sinus inverse de $\arcsin (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.12

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ .

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Étape 2.5.12.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Étape 2.5.12.2

Le sinus inverse de $\arcsin (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.13

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution