Trigonométrie Exemples

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

Étape 1

Remplacez $f (x)$ par $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ .

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

Étape 2.2

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

Étape 2.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

Étape 2.4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

Étape 2.4.2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

Étape 2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

Étape 2.4.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $6$ , puis simplifiez.

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Étape 2.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez

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Étape 2.4.3.2.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Étape 2.4.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Étape 2.4.3.2.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.4.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Étape 2.4.3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Étape 2.4.3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

Étape 2.4.3.2.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

Étape 2.4.3.3

Remettez dans l’ordre $12 u$ et $- 12 u^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

Étape 2.4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.5

Remplacez les valeurs $a = - 12$ , $b = 12$ et $c = - π + 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.6

Simplifiez

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Étape 2.4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.6.1.5

Multipliez $48$ par $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.6.1.6

Additionnez $144$ et $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.6.2

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Étape 2.4.6.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Étape 2.4.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.7.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.7.1.5

Multipliez $48$ par $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.7.1.6

Additionnez $144$ et $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.7.2

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Étape 2.4.7.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Étape 2.4.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Étape 2.4.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.8.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.8.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.8.1.4

Multipliez $- 1$ par $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.8.1.5

Multipliez $48$ par $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.8.1.6

Additionnez $144$ et $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Étape 2.4.8.2

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Étape 2.4.8.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Étape 2.4.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Étape 2.4.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Étape 2.4.10

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Étape 2.4.11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Étape 2.4.12

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

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Étape 2.4.12.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Étape 2.4.12.2

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Étape 2.4.12.3

Supprimez les parenthèses.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Étape 2.4.12.4

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.4.12.4.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.4.12.4.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.4.12.4.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.4.12.4.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.4.12.5

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4.13

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ .

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Étape 2.4.13.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Étape 2.4.13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.13.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ .

$x = - 0.2000451$

Étape 2.4.13.3

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Étape 2.4.13.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.13.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

Étape 2.4.13.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Étape 2.4.13.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.2000451$ .

$x = 3.34163776$

Étape 2.4.13.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.4.13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.4.13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.4.13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.4.13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.4.13.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.4.13.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.2000451$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.2000451 + 2 π$

Étape 2.4.13.6.2

Soustrayez $0.2000451$ de $2 π$ .

$6.08314019$

Étape 2.4.13.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 6.08314019$

Étape 2.4.13.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4.14

Indiquez toutes les solutions.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , pour tout entier $n$