Trigonométrie Exemples

$f (x) = \sin (4 x)$ , $f (x) = \cos (4 x)$

Étape 1

Remplacez $f (x)$ par $\cos (4 x)$ .

$\cos (4 x) = \sin (4 x)$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (4 x)$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$

Étape 2.3

Convertissez de $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ à $\tan (4 x)$ .

$1 = \tan (4 x)$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation comme $\tan (4 x) = 1$ .

$\tan (4 x) = 1$

Étape 2.5

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$4 x = \arctan (1)$

Étape 2.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Étape 2.7

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{4}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{4}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 2.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.7.3.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.7.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Étape 2.7.3.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Étape 2.8

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$4 x = π + \frac{π}{4}$

Étape 2.9

Résolvez $x$ .

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Étape 2.9.1

Simplifiez

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Étape 2.9.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.9.1.2

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.9.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 2.9.1.4

Additionnez $π \cdot 4$ et $π$ .

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Étape 2.9.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $4$ .

$4 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 2.9.1.4.2

Additionnez $4 \cdot π$ et $π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Étape 2.9.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.9.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Étape 2.9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Étape 2.9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.9.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.9.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.9.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 4}$

Étape 2.9.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{5 π}{16}$

Étape 2.10

Déterminez la période de $\tan (4 x)$ .

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Étape 2.10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.10.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 4 |}$

Étape 2.10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 2.11

La période de la fonction $\tan (4 x)$ est $\frac{π}{4}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{4}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$