Trigonométrie Exemples

$f (x) = - \frac{1}{9} x^{2} + 25$ , $f (x) = 69 - 3 x$

Étape 1

Remplacez $f (x)$ par $69 - 3 x$ .

$69 - 3 x = - \frac{1}{9} x^{2} + 25$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{9}$ .

$69 - 3 x = - \frac{x^{2}}{9} + 25$

Étape 2.2

Ajoutez $\frac{x^{2}}{9}$ aux deux côtés de l’équation.

$69 - 3 x + \frac{x^{2}}{9} = 25$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$69 - 3 x + \frac{x^{2}}{9} - 25 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $25$ de $69$ .

$- 3 x + \frac{x^{2}}{9} + 44 = 0$

Étape 2.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $9$ , puis simplifiez.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (- 3 x) + 9 (\frac{x^{2}}{9}) + 9 \cdot 44 = 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$- 27 x + 9 (\frac{x^{2}}{9}) + 9 \cdot 44 = 0$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 27 x + 9 (\frac{x^{2}}{9}) + 9 \cdot 44 = 0$

Étape 2.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 27 x + x^{2} + 9 \cdot 44 = 0$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $9$ par $44$ .

$- 27 x + x^{2} + 396 = 0$

Étape 2.4.3

Remettez dans l’ordre $- 27 x$ et $x^{2}$ .

$x^{2} - 27 x + 396 = 0$

Étape 2.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 27$ et $c = 396$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 396)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $- 27$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 1 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 396$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $396$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 1584}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.3

Soustrayez $1584$ de $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $- 855$ comme $- 1 (855)$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1 \cdot 855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (855)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.7

Réécrivez $855$ comme $3^{2} \cdot 95$ .

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Étape 2.7.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $855$ .

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{9 (95)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 95}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{27 \pm i \cdot (3 \sqrt{95})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 27$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 1 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 396$ .

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Étape 2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $396$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 1584}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.3

Soustrayez $1584$ de $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.4

Réécrivez $- 855$ comme $- 1 (855)$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1 \cdot 855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (855)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.7

Réécrivez $855$ comme $3^{2} \cdot 95$ .

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Étape 2.8.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $855$ .

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{9 (95)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 95}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{27 \pm i \cdot (3 \sqrt{95})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2}$

Étape 2.8.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{27 + 3 i \sqrt{95}}{2}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1.1

Élevez $- 27$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 1 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 396$ .

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Étape 2.9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $396$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 1584}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.3

Soustrayez $1584$ de $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.4

Réécrivez $- 855$ comme $- 1 (855)$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1 \cdot 855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (855)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.7

Réécrivez $855$ comme $3^{2} \cdot 95$ .

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Étape 2.9.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $855$ .

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{9 (95)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 95}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{27 \pm i \cdot (3 \sqrt{95})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2}$

Étape 2.9.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{27 - 3 i \sqrt{95}}{2}$

Étape 2.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{27 + 3 i \sqrt{95}}{2}, \frac{27 - 3 i \sqrt{95}}{2}$