Trigonométrie Exemples

$c = 23$ , $a = 13.8$ , $B = 60$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$b = \sqrt{{(13.8)}^{2} + {(23)}^{2} - 2 \cdot 13.8 \cdot 23 \cos (60)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $13.8$ à la puissance $2$ .

$b = \sqrt{190.44 + {(23)}^{2} - 2 \cdot 13.8 \cdot (23 \cos (60))}$

Étape 4.2

Élevez $23$ à la puissance $2$ .

$b = \sqrt{190.44 + 529 - 2 \cdot 13.8 \cdot (23 \cos (60))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 13.8 \cdot 23$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $13.8$ .

$b = \sqrt{190.44 + 529 - 27.6 \cdot (23 \cos (60))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 27.6$ par $23$ .

$b = \sqrt{190.44 + 529 - 634.8 \cos (60)}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

$b = \sqrt{190.44 + 529 - 634.8 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.5

Associez $- 634.8$ et $\frac{1}{2}$ .

$b = \sqrt{190.44 + 529 + \frac{- 634.8}{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Divisez $- 634.8$ par $2$ .

$b = \sqrt{190.44 + 529 - 317.4}$

Étape 4.6.2

Additionnez $190.44$ et $529$ .

$b = \sqrt{719.44 - 317.4}$

Étape 4.6.3

Soustrayez $317.4$ de $719.44$ .

$b = \sqrt{402.04}$

Étape 4.7

Évaluez la racine.

$b = 20.05093514$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{13.8} = \frac{\sin (60)}{20.05093514}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $13.8$ .

$13.8 \frac{\sin (A)}{13.8} = 13.8 \frac{\sin (60)}{20.05093514}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $13.8$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$13.8 \frac{\sin (A)}{13.8} = 13.8 \frac{\sin (60)}{20.05093514}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 13.8 \frac{\sin (60)}{20.05093514}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $13.8 \frac{\sin (60)}{20.05093514}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 13.8 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{20.05093514}$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (A) = 13.8 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{20.05093514})$

Étape 7.2.2.1.3

Divisez $1$ par $20.05093514$ .

$\sin (A) = 13.8 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0.04987298)$

Étape 7.2.2.1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0.04987298$ .

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Étape 7.2.2.1.4.1

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $0.04987298$ .

$\sin (A) = 13.8 \frac{\sqrt{3} \cdot 0.04987298}{2}$

Étape 7.2.2.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $0.04987298$ .

$\sin (A) = 13.8 (\frac{0.08638254}{2})$

Étape 7.2.2.1.5

Divisez $0.08638254$ par $2$ .

$\sin (A) = 13.8 \cdot 0.04319127$

Étape 7.2.2.1.6

Multipliez $13.8$ par $0.04319127$ .

$\sin (A) = 0.59603956$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (0.59603956)$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (0.59603956)$ .

$A = 36.58677555$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 36.58677555$

Étape 7.6

Soustrayez $36.58677555$ de $180$ .

$A = 143.41322444$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $A = 36.58677555$ .

$A = 36.58677555, 143.41322444$

Étape 7.8

Excluez l’angle non valide.

$A = 36.58677555$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$36.58677555 + C + 60 = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 9.1

Additionnez $36.58677555$ et $60$ .

$C + 96.58677555 = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $96.58677555$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 96.58677555$

Étape 9.2.2

Soustrayez $96.58677555$ de $180$ .

$C = 83.41322444$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 36.58677555$

$B = 60$

$C = 83.41322444$

$a = 13.8$

$b = 20.05093514$

$c = 23$