Trigonométrie Exemples

$b = 20$ , $c = 18$ , $B = 120$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $C$ .

$\frac{\sin (C)}{18} = \frac{\sin (120)}{20}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $18$ .

$18 \frac{\sin (C)}{18} = 18 \frac{\sin (120)}{20}$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$18 \frac{\sin (C)}{18} = 18 \frac{\sin (120)}{20}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 18 \frac{\sin (120)}{20}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $18 \frac{\sin (120)}{20}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\sin (C) = 2 (9) \frac{\sin (120)}{20}$

Étape 3.2.2.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 9 \frac{\sin (120)}{2 \cdot 10}$

Étape 3.2.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (C) = 2 \cdot 9 \frac{\sin (120)}{2 \cdot 10}$

Étape 3.2.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (C) = 9 \frac{\sin (120)}{10}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Associez $9$ et $\frac{\sin (120)}{10}$ .

$\sin (C) = \frac{9 \sin (120)}{10}$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin (C) = \frac{9 \sin (60)}{10}$

Étape 3.2.2.1.2.2

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{9 \frac{\sqrt{3}}{2}}{10}$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $9$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{9 \sqrt{3}}{2}}{10}$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (C) = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{10}$

Étape 3.2.2.1.5

Multipliez $\frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

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Étape 3.2.2.1.5.1

Multipliez $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{10}$ .

$\sin (C) = \frac{9 \sqrt{3}}{2 \cdot 10}$

Étape 3.2.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\sin (C) = \frac{9 \sqrt{3}}{20}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $C$ de l’intérieur du sinus.

$C = \arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{20})$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{20})$ .

$C = 51.20776365$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$C = 180 - 51.20776365$

Étape 3.6

Soustrayez $51.20776365$ de $180$ .

$C = 128.79223634$

Étape 3.7

La solution de l’équation est $C = 51.20776365$ .

$C = 51.20776365, 128.79223634$

Étape 3.8

Excluez l’angle non valide.

$C = 51.20776365$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 51.20776365 + 120 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 5.1

Additionnez $51.20776365$ et $120$ .

$A + 171.20776365 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $171.20776365$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 171.20776365$

Étape 5.2.2

Soustrayez $171.20776365$ de $180$ .

$A = 8.79223634$

Étape 6

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 7

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 8

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(20)}^{2} + {(18)}^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cos (8.79223634)}$

Étape 9

Simplifiez les résultats.

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Étape 9.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{400 + {(18)}^{2} - 2 \cdot 20 \cdot (18 \cos (8.79223634))}$

Étape 9.2

Élevez $18$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{400 + 324 - 2 \cdot 20 \cdot (18 \cos (8.79223634))}$

Étape 9.3

Multipliez $- 2 \cdot 20 \cdot 18$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 2$ par $20$ .

$a = \sqrt{400 + 324 - 40 \cdot (18 \cos (8.79223634))}$

Étape 9.3.2

Multipliez $- 40$ par $18$ .

$a = \sqrt{400 + 324 - 720 \cos (8.79223634)}$

Étape 9.4

Additionnez $400$ et $324$ .

$a = \sqrt{724 - 720 \cos (8.79223634)}$

Étape 9.5

Réécrivez $724 - 720 \cos (8.79223634)$ comme $2^{2} (181 - 180 \cos (8.79223634))$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $4$ à partir de $724$ .

$a = \sqrt{4 (181) - 720 \cos (8.79223634)}$

Étape 9.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 720 \cos (8.79223634)$ .

$a = \sqrt{4 (181) + 4 (- 180 \cos (8.79223634))}$

Étape 9.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (181) + 4 (- 180 \cos (8.79223634))$ .

$a = \sqrt{4 (181 - 180 \cos (8.79223634))}$

Étape 9.5.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (181 - 180 \cos (8.79223634))}$

Étape 9.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = 2 \sqrt{181 - 180 \cos (8.79223634)}$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 8.79223634$

$B = 120$

$C = 51.20776365$

$a = 2 \sqrt{181 - 180 \cos (8.79223634)}$

$b = 20$

$c = 18$