Trigonométrie Exemples

$a = 3$ , $b = 4$ , $C = 30$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (30)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

Étape 4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (30))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (30)}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 (- 12) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 \cdot (- 12 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$c = \sqrt{9 + 16 - 12 \sqrt{3}}$

Étape 4.6

Additionnez $9$ et $16$ .

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ par $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

Étape 7.2.2.1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1.5.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ par $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.5.2

Déplacez $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

Étape 7.2.2.1.5.3

Élevez $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

Étape 7.2.2.1.5.4

Élevez $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ à la puissance $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1})}$

Étape 7.2.2.1.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.2.1.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}}$

Étape 7.2.2.1.5.7

Réécrivez ${\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}$ comme $25 - 12 \sqrt{3}$ .

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Étape 7.2.2.1.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ comme ${(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {({(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2.2.1.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.2.2.1.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.2.1.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.2.1.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{1}}$

Étape 7.2.2.1.5.7.5

Simplifiez

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$

Étape 7.2.2.1.6

Multipliez $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ par $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})} \cdot \frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}})$

Étape 7.2.2.1.7

Multipliez $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ par $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3})}$

Étape 7.2.2.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.1.8.1

Déplacez $25 - 12 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 ((25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3}))}$

Étape 7.2.2.1.8.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (625 + 300 \sqrt{3} - 300 \sqrt{3} - 144 {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 7.2.2.1.8.3

Simplifiez

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 \cdot 193}$

Étape 7.2.2.1.8.4

Multipliez $2$ par $193$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{386}$

Étape 7.2.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \cdot 25 + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

Étape 7.2.2.1.10

Déplacez $25$ à gauche de $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{25 \cdot \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

Étape 7.2.2.1.11

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (A) = 3 \frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$

Étape 7.2.2.1.12

Associez $3$ et $\frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$ .

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3})}{386}$

Étape 7.2.2.1.13

Déplacez $3$ à gauche de $25 - 12 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386}$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$ .

$A = 46.93568657$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 46.93568657$

Étape 7.6

Soustrayez $46.93568657$ de $180$ .

$A = 133.06431342$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $A = 46.93568657$ .

$A = 46.93568657, 133.06431342$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$46.93568657 + 30 + B = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 9.1

Additionnez $46.93568657$ et $30$ .

$76.93568657 + B = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $76.93568657$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 76.93568657$

Étape 9.2.2

Soustrayez $76.93568657$ de $180$ .

$B = 103.06431342$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 46.93568657$

$B = 103.06431342$

$C = 30$

$a = 3$

$b = 4$

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$