Trigonométrie Exemples

$b = 1$ , $c = 2$ , $A = 150$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos (150)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a = \sqrt{1 + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot (2 \cos (150))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \cos (150)}$

Étape 4.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \cos (30))}$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Étape 4.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.6.3

Annulez le facteur commun.

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.6.4

Réécrivez l’expression.

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3})}$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \sqrt{3}}$

Étape 4.7.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$a = \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 7.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$B = 150$

Étape 7.2

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$B = 180 - 150$

Étape 7.3

Soustrayez $150$ de $180$ .

$B = 30$

Étape 7.4

La solution de l’équation est $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Étape 7.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 8

Il n’y a pas assez de paramètres donnés pour résoudre le triangle.

Triangle inconnu

Étape 9

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 10

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 11.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$B = 150$

Étape 11.2

$B = 180 - 150$

Étape 11.3

Soustrayez $150$ de $180$ .

$B = 30$

Étape 11.4

La solution de l’équation est $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Étape 11.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 12

Il n’y a pas assez de paramètres donnés pour résoudre le triangle.

Triangle inconnu

Étape 13

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 14

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Étape 15

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 15.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$B = 150$

Étape 15.2

$B = 180 - 150$

Étape 15.3

Soustrayez $150$ de $180$ .

$B = 30$

Étape 15.4

La solution de l’équation est $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Étape 15.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 16

Il n’y a pas assez de paramètres donnés pour résoudre le triangle.

Triangle inconnu

Étape 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 18

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Étape 19

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 19.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$B = 150$

Étape 19.2

$B = 180 - 150$

Étape 19.3

Soustrayez $150$ de $180$ .

$B = 30$

Étape 19.4

La solution de l’équation est $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Étape 19.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 20

Il n’y a pas assez de paramètres donnés pour résoudre le triangle.

Triangle inconnu

Étape 21

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 22

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Étape 23

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 23.1

Pour que les deux fonctions soient égales, leurs arguments doivent être égaux.

$B = 150$

Étape 23.2

$B = 180 - 150$

Étape 23.3

Soustrayez $150$ de $180$ .

$B = 30$

Étape 23.4

La solution de l’équation est $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Étape 23.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 24

Il n’y a pas assez de paramètres donnés pour résoudre le triangle.

Triangle inconnu