Trigonométrie Exemples

$A = 70$ , $B = 15$ , $b = 23.1$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (70)}{a} = \frac{\sin (15)}{23.1}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Évaluez $\sin (70)$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (15)}{23.1}$

Étape 3.1.2

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 3.1.2.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (45 - 30)}{23.1}$

Étape 3.1.2.2

Séparez la négation.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (45 - (30))}{23.1}$

Étape 3.1.2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{23.1}$

Étape 3.1.2.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{23.1}$

Étape 3.1.2.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{23.1}$

Étape 3.1.2.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{23.1}$

Étape 3.1.2.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Étape 3.1.2.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Étape 3.1.2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Étape 3.1.2.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Étape 3.1.2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{23.1}$

Étape 3.1.2.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23.1}$

Étape 3.1.2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{23.1}$

Étape 3.1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{23.1}$

Étape 3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{23.1}$

Étape 3.1.4

Divisez $1$ par $23.1$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.\overline{043290}$

Étape 3.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.\overline{043290}$ .

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Étape 3.1.5.1

Associez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ et $0.\overline{043290}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 0.\overline{043290}}{4}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $0.\overline{043290}$ .

$\frac{0.93969262}{a} = \frac{0.04481715}{4}$

Étape 3.1.6

Divisez $0.04481715$ par $4$ .

$\frac{0.93969262}{a} = 0.01120428$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$a$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.93969262}{a} = 0.01120428$ par $a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.93969262}{a} = 0.01120428$ par $a$ .

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.01120428 a$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.93969262}{a} a = 0.01120428 a$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.93969262 = 0.01120428 a$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.01120428 a = 0.93969262$ .

$0.01120428 a = 0.93969262$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $0.01120428 a = 0.93969262$ par $0.01120428$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.01120428 a = 0.93969262$ par $0.01120428$ .

$\frac{0.01120428 a}{0.01120428} = \frac{0.93969262}{0.01120428}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.01120428$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.01120428 a}{0.01120428} = \frac{0.93969262}{0.01120428}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{0.93969262}{0.01120428}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Divisez $0.93969262$ par $0.01120428$ .

$a = 83.86901949$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$70 + C + 15 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 5.1

Additionnez $70$ et $15$ .

$C + 85 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $85$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 85$

Étape 5.2.2

Soustrayez $85$ de $180$ .

$C = 95$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (95)}{c} = \frac{\sin (70)}{83.86901949}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $c$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (95)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (70)}{83.86901949}$

Étape 8.1.2

Évaluez $\sin (70)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{0.93969262}{83.86901949}$

Étape 8.1.3

Divisez $0.93969262$ par $83.86901949$ .

$\frac{0.99619469}{c} = 0.01120428$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$c, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$c$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.99619469}{c} = 0.01120428$ par $c$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.99619469}{c} = 0.01120428$ par $c$ .

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.01120428 c$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.01120428 c$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.99619469 = 0.01120428 c$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

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Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.01120428 c = 0.99619469$ .

$0.01120428 c = 0.99619469$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.01120428 c = 0.99619469$ par $0.01120428$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.01120428 c = 0.99619469$ par $0.01120428$ .

$\frac{0.01120428 c}{0.01120428} = \frac{0.99619469}{0.01120428}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.01120428$ .

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Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.01120428 c}{0.01120428} = \frac{0.99619469}{0.01120428}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{0.99619469}{0.01120428}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.99619469$ par $0.01120428$ .

$c = 88.91191726$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 70$

$B = 15$

$C = 95$

$a = 83.86901949$

$b = 23.1$

$c = 88.91191726$