Trigonométrie Exemples

$A = 60$ , $b = 6$ , $c = 9$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(6)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cos (60)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{36 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (9 \cos (60))}$

Étape 4.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 2 \cdot 6 \cdot (9 \cos (60))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 6 \cdot 9$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 12 \cdot (9 \cos (60))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 108 \cos (60)}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

$a = \sqrt{36 + 81 - 108 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 108$ .

$a = \sqrt{36 + 81 + 2 (- 54) (\frac{1}{2})}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$a = \sqrt{36 + 81 + 2 \cdot (- 54 (\frac{1}{2}))}$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$a = \sqrt{36 + 81 - 54}$

Étape 4.6

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.6.1

Additionnez $36$ et $81$ .

$a = \sqrt{117 - 54}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $54$ de $117$ .

$a = \sqrt{63}$

Étape 4.7

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$a = \sqrt{9 (7)}$

Étape 4.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$a = \sqrt{3^{2} \cdot 7}$

Étape 4.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = 3 \sqrt{7}$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{6} = \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 \frac{\sin (B)}{6} = 6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{\sin (B)}{6} = 6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $6 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\sin (B) = 3 (2) \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{7}$ .

$\sin (B) = 3 (2) \frac{\sin (60)}{3 (\sqrt{7})}$

Étape 7.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (B) = 3 \cdot 2 \frac{\sin (60)}{3 \sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 2 \frac{\sin (60)}{\sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{\sin (60)}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (B) = \frac{2 \sin (60)}{\sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{2 \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.4

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1.5.1

Réduisez l’expression $\frac{2 \sqrt{3}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (B) = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{1}}{\sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.5.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.6

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.7.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Étape 7.2.2.1.7.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Étape 7.2.2.1.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.2.1.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 7.2.2.1.7.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 7.2.2.1.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2.2.1.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.2.2.1.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.2.1.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.2.1.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Étape 7.2.2.1.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

Étape 7.2.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (B) = \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7}$

Étape 7.2.2.1.8.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$\sin (B) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $B$ de l’intérieur du sinus.

$B = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{7})$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{\sqrt{21}}{7})$ .

$B = 40.89339464$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$B = 180 - 40.89339464$

Étape 7.6

Soustrayez $40.89339464$ de $180$ .

$B = 139.10660535$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $B = 40.89339464$ .

$B = 40.89339464, 139.10660535$

Étape 7.8

Excluez l’angle non valide.

$B = 40.89339464$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$60 + C + 40.89339464 = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 9.1

Additionnez $60$ et $40.89339464$ .

$C + 100.89339464 = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $100.89339464$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 100.89339464$

Étape 9.2.2

Soustrayez $100.89339464$ de $180$ .

$C = 79.10660535$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 60$

$B = 40.89339464$

$C = 79.10660535$

$a = 3 \sqrt{7}$

$b = 6$

$c = 9$