Trigonométrie Exemples

$A = 103$ , $b = 15$ , $c = 24$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$a = \sqrt{{(15)}^{2} + {(24)}^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 24 \cos (103)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{225 + {(24)}^{2} - 2 \cdot 15 \cdot (24 \cos (103))}$

Étape 4.2

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 2 \cdot 15 \cdot (24 \cos (103))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 15 \cdot 24$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $15$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 30 \cdot (24 \cos (103))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 30$ par $24$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 720 \cos (103)}$

Étape 4.4

Évaluez $\cos (103)$ .

$a = \sqrt{225 + 576 - 720 \cdot - 0.22495105}$

Étape 4.5

Multipliez $- 720$ par $- 0.22495105$ .

$a = \sqrt{225 + 576 + 161.96475912}$

Étape 4.6

Additionnez $225$ et $576$ .

$a = \sqrt{801 + 161.96475912}$

Étape 4.7

Additionnez $801$ et $161.96475912$ .

$a = \sqrt{962.96475912}$

Étape 4.8

Évaluez la racine.

$a = 31.03167348$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{15} = \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $15$ .

$15 \frac{\sin (B)}{15} = 15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$15 \frac{\sin (B)}{15} = 15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $15 \frac{\sin (103)}{31.03167348}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Évaluez $\sin (103)$ .

$\sin (B) = 15 (\frac{0.97437006}{31.03167348})$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $0.97437006$ par $31.03167348$ .

$\sin (B) = 15 \cdot 0.03139921$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $15$ par $0.03139921$ .

$\sin (B) = 0.47098816$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $B$ de l’intérieur du sinus.

$B = \arcsin (0.47098816)$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (0.47098816)$ .

$B = 28.09845964$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$B = 180 - 28.09845964$

Étape 7.6

Soustrayez $28.09845964$ de $180$ .

$B = 151.90154035$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $B = 28.09845964$ .

$B = 28.09845964, 151.90154035$

Étape 7.8

Excluez l’angle non valide.

$B = 28.09845964$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$103 + C + 28.09845964 = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 9.1

Additionnez $103$ et $28.09845964$ .

$C + 131.09845964 = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $131.09845964$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 131.09845964$

Étape 9.2.2

Soustrayez $131.09845964$ de $180$ .

$C = 48.90154035$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 103$

$B = 28.09845964$

$C = 48.90154035$

$a = 31.03167348$

$b = 15$

$c = 24$