Trigonométrie Exemples

$a = 2$ , $b = 5$ , $C = 30$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$c = \sqrt{{(2)}^{2} + {(5)}^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cos (30)}$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{4 + {(5)}^{2} - 2 \cdot 2 \cdot (5 \cos (30))}$

Étape 4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 2 \cdot 2 \cdot (5 \cos (30))}$

Étape 4.3

Multipliez $- 2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 4 \cdot (5 \cos (30))}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 20 \cos (30)}$

Étape 4.4

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{4 + 25 - 20 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$c = \sqrt{4 + 25 + 2 (- 10) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$c = \sqrt{4 + 25 + 2 \cdot (- 10 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$c = \sqrt{4 + 25 - 10 \sqrt{3}}$

Étape 4.6

Additionnez $4$ et $25$ .

$c = \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}$

Étape 5

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 6

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{2} = \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{\sin (A)}{2} = 2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sin (A)}{2} = 2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $2 \frac{\sin (30)}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 2 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}})$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 2 \frac{1}{2 \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 \frac{1}{2 (\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}})}$

Étape 7.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (A) = 2 \frac{1}{2 \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Étape 7.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = \frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}}$

Étape 7.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}})$

Étape 7.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{\sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}})$ .

$A = 17.01423169$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 17.01423169$

Étape 7.6

Soustrayez $17.01423169$ de $180$ .

$A = 162.9857683$

Étape 7.7

La solution de l’équation est $A = 17.01423169$ .

$A = 17.01423169, 162.9857683$

Étape 7.8

Excluez l’angle non valide.

$A = 17.01423169$

Étape 8

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$17.01423169 + 30 + B = 180$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 9.1

Additionnez $17.01423169$ et $30$ .

$47.01423169 + B = 180$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $47.01423169$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 47.01423169$

Étape 9.2.2

Soustrayez $47.01423169$ de $180$ .

$B = 132.9857683$

Étape 10

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 17.01423169$

$B = 132.9857683$

$C = 30$

$a = 2$

$b = 5$

$c = \sqrt{29 - 10 \sqrt{3}}$