Trigonométrie Exemples

$A = 15$ , $B = 155$ , $c = 500$

Étape 1

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$15 + C + 155 = 180$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 2.1

Additionnez $15$ et $155$ .

$C + 170 = 180$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $170$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 170$

Étape 2.2.2

Soustrayez $170$ de $180$ .

$C = 10$

Étape 3

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (15)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 5.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 5.1.1

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 5.1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sin (45 - 30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.2

Séparez la négation.

$\frac{\sin (45 - (30))}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (10)}{500}$

Étape 5.1.4

Évaluez $\sin (10)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{0.17364817}{500}$

Étape 5.1.5

Divisez $0.17364817$ par $500$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.00034729$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 a, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 a$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.00034729$ par $4 a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.00034729$ par $4 a$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} (4 a) = 0.00034729 (4 a)$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.00034729 (4 a)$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (a)} a = 0.00034729 (4 a)$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.00034729 (4 a)$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.00034729 (4 a)$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.00034729 (4 a)$

Étape 5.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.00034729 (4 a)$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $4$ par $0.00034729$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.00138918 a$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.00138918 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.00138918 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $0.00138918 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $0.00138918$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.00138918 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $0.00138918$ .

$\frac{0.00138918 a}{0.00138918} = \frac{\sqrt{6}}{0.00138918} + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.00138918$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.00138918 a}{0.00138918} = \frac{\sqrt{6}}{0.00138918} + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{\sqrt{6}}{0.00138918} + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.3.1.1

Évaluez la racine.

$a = \frac{2.44948974}{0.00138918} + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Étape 5.4.2.3.1.2

Divisez $2.44948974$ par $0.00138918$ .

$a = 1763.25615368 + \frac{- \sqrt{2}}{0.00138918}$

Étape 5.4.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = 1763.25615368 - \frac{\sqrt{2}}{0.00138918}$

Étape 5.4.2.3.1.4

Évaluez la racine.

$a = 1763.25615368 - \frac{1.41421356}{0.00138918}$

Étape 5.4.2.3.1.5

Divisez $1.41421356$ par $0.00138918$ .

$a = 1763.25615368 - 1 \cdot 1018.01641498$

Étape 5.4.2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $1018.01641498$ .

$a = 1763.25615368 - 1018.01641498$

Étape 5.4.2.3.2

Soustrayez $1018.01641498$ de $1763.25615368$ .

$a = 745.2397387$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $b$ .

$\frac{\sin (155)}{b} = \frac{\sin (15)}{745.2397387}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $b$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (155)$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sin (15)}{745.2397387}$

Étape 8.1.2

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 8.1.2.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sin (45 - 30)}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.2

Séparez la négation.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sin (45 - (30))}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 8.1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{745.2397387}$

Étape 8.1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{745.2397387}$

Étape 8.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{745.2397387}$

Étape 8.1.4

Divisez $1$ par $745.2397387$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.00134185$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.00134185$ .

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Étape 8.1.5.1

Associez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ et $0.00134185$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 0.00134185}{4}$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $0.00134185$ .

$\frac{0.42261826}{b} = \frac{0.00138918}{4}$

Étape 8.1.6

Divisez $0.00138918$ par $4$ .

$\frac{0.42261826}{b} = 0.00034729$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$b, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$b$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.42261826}{b} = 0.00034729$ par $b$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.42261826}{b} = 0.00034729$ par $b$ .

$\frac{0.42261826}{b} b = 0.00034729 b$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.42261826}{b} b = 0.00034729 b$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.42261826 = 0.00034729 b$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.00034729 b = 0.42261826$ .

$0.00034729 b = 0.42261826$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.00034729 b = 0.42261826$ par $0.00034729$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.00034729 b = 0.42261826$ par $0.00034729$ .

$\frac{0.00034729 b}{0.00034729} = \frac{0.42261826}{0.00034729}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.00034729$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.00034729 b}{0.00034729} = \frac{0.42261826}{0.00034729}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{0.42261826}{0.00034729}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.42261826$ par $0.00034729$ .

$b = 1216.88078567$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 15$

$B = 155$

$C = 10$

$a = 745.2397387$

$b = 1216.88078567$

$c = 500$