Trigonométrie Exemples

$(\sqrt{18}, \sqrt{30})$

Étape 1

Pour déterminer le $\tan (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\sqrt{18}, \sqrt{30})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\sqrt{18}, 0)$ et $(\sqrt{18}, \sqrt{30})$ .

Opposé : $\sqrt{30}$

Adjacent : $\sqrt{18}$

Étape 2

$\tan (θ) = \frac{Opposé}{Adjacent}$ donc $\tan (θ) = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{18}}$ .

$\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{18}}$

Étape 3

Simplifiez $\tan (θ)$ .

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Étape 3.1

Associez $\sqrt{30}$ et $\sqrt{18}$ en un radical unique.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{30}{18}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $30$ et $18$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{6 (5)}{18}}$

Étape 3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $18$ .

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 3}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 3}}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{5}{3}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

Étape 3.6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Étape 4

Approximez le résultat.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{3} \approx 1.29099444$