Trigonométrie Exemples

$(\frac{p}{2}, \frac{p}{3})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{p}{2}, \frac{p}{3})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{p}{2}, 0)$ et $(\frac{p}{2}, \frac{p}{3})$ .

Opposé : $\frac{p}{3}$

Adjacent : $\frac{p}{2}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{p}{2}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{2^{2}} + {(\frac{p}{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} + {(\frac{p}{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{p}{3}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} + \frac{p^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} + \frac{p^{2}}{9}}$

Étape 2.5

Pour écrire $\frac{p^{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{p^{2}}{9}}$

Étape 2.6

Pour écrire $\frac{p^{2}}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2}}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{p^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{p^{2}}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{p^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 2.7.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{36} + \frac{p^{2}}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 2.7.3

Multipliez $\frac{p^{2}}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{36} + \frac{p^{2} \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Étape 2.7.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9}{36} + \frac{p^{2} \cdot 4}{36}}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 9 + p^{2} \cdot 4}{36}}$

Étape 2.9

Réécrivez $\frac{p^{2} \cdot 9 + p^{2} \cdot 4}{36}$ en forme factorisée.

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Étape 2.9.1

Déplacez $9$ à gauche de $p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot p^{2} + p^{2} \cdot 4}{36}}$

Étape 2.9.2

Déplacez $4$ à gauche de $p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{9 p^{2} + 4 \cdot p^{2}}{36}}$

Étape 2.9.3

Additionnez $9 p^{2}$ et $4 p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{13 p^{2}}{36}}$

Étape 2.10

Réécrivez $\frac{13 p^{2}}{36}$ comme ${(\frac{p}{6})}^{2} \cdot 13$ .

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Étape 2.10.1

Factorisez la puissance parfaite $p^{2}$ dans $13 p^{2}$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 13}{36}}$

Étape 2.10.2

Factorisez la puissance parfaite $6^{2}$ dans $36$ .

$\sqrt{\frac{p^{2} \cdot 13}{6^{2} \cdot 1}}$

Étape 2.10.3

Réorganisez la fraction $\frac{p^{2} \cdot 13}{6^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{p}{6})}^{2} \cdot 13}$

Étape 2.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{p}{6} \sqrt{13}$

Étape 2.12

Associez $\frac{p}{6}$ et $\sqrt{13}$ .

$\frac{p \sqrt{13}}{6}$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{\frac{p}{2}}{\frac{p \sqrt{13}}{6}}$ .

$\frac{\frac{p}{2}}{\frac{p \sqrt{13}}{6}}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (θ) = \frac{p}{2} \cdot \frac{6}{p \sqrt{13}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $p$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $p$ à partir de $p \sqrt{13}$ .

$\cos (θ) = \frac{p}{2} \cdot \frac{6}{p (\sqrt{13})}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{p}{2} \cdot \frac{6}{p \sqrt{13}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (3)}{\sqrt{13}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{13}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 4.5.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Étape 4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13} \approx 0.83205029$